【例1：同济线代习题二 9.1】求下列矩阵的逆矩阵：
A = ( 1 2 2 5 ) \boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} A=(1225)
解答因为 ∣ A ∣ = 5 − 4 = 1 ≠ 0 |\boldsymbol{A}| = 5 - 4 = 1 \ne 0 ∣A∣=5−4=1=0，所以 A \boldsymbol{A} A 可逆。有
A − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∗ = ( 5 − 2 − 2 1 ) \boldsymbol{A}^{-1} = \frac{1}{|\boldsymbol{A}|} \boldsymbol{A}^* = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} A−1=∣A∣1A∗=(5−2−21)
【例2：同济线代习题二 9.2】求下列矩阵的逆矩阵：
A = ( cos θ − sin θ sin θ cos θ ) \boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} A=(cosθsinθ−sinθcosθ)
解答因为 ∣ A ∣ = cos 2 θ + sin 2 θ = 1 ≠ 0 |\boldsymbol{A}| = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 \ne 0 ∣A∣=cos2θ+sin2θ=1=0，所以 A \boldsymbol{A} A 可逆。于是有
A − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∗ = ( cos θ sin θ − sin θ cos θ ) \boldsymbol{A}^{-1} = \frac{1}{|\boldsymbol{A}|} \boldsymbol{A}^* = \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ - \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} A−1=∣A∣1A∗=(cosθ−sinθsinθcosθ)
【例3：同济线代习题二 9.３】求下列矩阵的逆矩阵：
A = ( 1 2 − 1 3 4 − 2 5 − 4 1 ) \boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & 4 & -2 \\ 5 & -4 & 1 \\ \end{pmatrix} A= 13524−4−1−21
解答因为 ∣ A ∣ = 4 + ( − 20 ) + 12 − ( − 20 ) − 8 − 6 = 2 ≠ 0 |\boldsymbol{A}| = 4 + (-20) + 12 - (-20) - 8 - 6 = 2 \ne 0 ∣A∣=4+(−20)+12−(−20)−8−6=2=0，所以 A \boldsymbol{A} A 可逆。于是有
A − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∗ = 1 2 ( − 4 2 0 − 13 6 − 1 − 32 14 − 2 ) = ( − 2 1 0 − 13 2 3 − 1 2 − 16 7 − 1 ) \boldsymbol{A}^{-1} = \frac{1}{|\boldsymbol{A}|} \boldsymbol{A}^* = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -4 & 2 & 0 \\ -13 & 6 & -1 \\ -32 & 14 & -2 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 0 \\ -\frac{13}{2} & 3 & -\frac{1}{2} \\ -16 & 7 & -1 \\ \end{pmatrix} A−1=∣A∣1A∗=21 −4−13−3226140−1−2 = −2−213−161370−21−1
【例4：同济线代习题二 9.4】求下列矩阵的逆矩阵：
A = ( a 1 0 a 2 ⋱ 0 a n ) ( a 1 a 2 ⋯ a n ≠ 0 ) \boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} a_1 & & & 0 \\ & a_2 & & \\ & & \ddots & \\ 0 & & & a_n \\ \end{pmatrix} \hspace{1em} (a_1 a_2 \cdots a_n \ne 0) A= a10a2⋱0an (a1a2⋯an=0)
解答因为 ∣ A ∣ = a 1 a 2 ⋯ a n ≠ 0 |\boldsymbol{A}| = a_1 a_2 \cdots a_n \ne 0 ∣A∣=a1a2⋯an=0，所以 A \boldsymbol{A} A 可逆。
矩阵 ∣ A ∣ |\boldsymbol{A}| ∣A∣ 是对角行列式，只有主对角线上的 n n n 个元素不是 0 0 0。因此，对于任意 ∣ A ∣ |\boldsymbol{A}| ∣A∣ 中的 ( i , j ) (i,j) (i,j) 元的余子式 M i j M_{ij} Mij：
当 i = j i = j i=j 时，划去第 i i i 行和第 i i i 列后的新行列式 ∣ B ∣ |\boldsymbol{B}| ∣B∣ 仍为对角行列式，显然有 ∣ B ∣ = a 1 ⋯ a i − 1 a i + 1 ⋯ a n |\boldsymbol{B}| = a_1 \cdots a_{i-1} a_{i+1} \cdots a_n ∣B∣=a1⋯ai−1ai+1⋯an；当 i ≠ j i \ne j i=j 时，划去第 i i i 行和第 j j j 列后， ∣ A ∣ |\boldsymbol{A}| ∣A∣ 的主对角线上的 ( i , i ) (i,i) (i,i) 元和 ( j , j ) (j,j) (j,j) 元均被划去，此时新行列式 ∣ B ∣ |\boldsymbol{B}| ∣B∣ 中只有 n − 2 n-2 n−2 个元素不为 0 0 0，但 ∣ B ∣ |\boldsymbol{B}| ∣B∣ 为 n − 1 n-1 n−1 阶方阵，因此 ∣ B ∣ |\boldsymbol{B}| ∣B∣ 中一定有一行和一列中所有元素均为 0 0 0，进而 ∣ B ∣ = 0 |\boldsymbol{B}| = 0 ∣B∣=0。
于是有
A − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∗ = 1 a 1 a 2 ⋯ a n ( a 2 ⋯ a n 0 a 1 a 3 ⋯ a n ⋱ 0 a 1 ⋯ a n − 1 ) = ( 1 a 1 0 1 a 2 ⋱ 0 1 a n ) \boldsymbol{A}^{-1} = \frac{1}{|\boldsymbol{A}|} \boldsymbol{A}^* = \frac{1}{a_1 a_2 \cdots a_n} \begin{pmatrix} a_2 \cdots a_n & & & 0 \\ & a_1 a_3 \cdots a_n & & \\ & & \ddots & \\ 0 & & & a_1 \cdots a_{n-1} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{a_1} & & & 0 \\ & \frac{1}{a_2} & & \\ & & \ddots & \\ 0 & & & \frac{1}{a_n} \\ \end{pmatrix} A−1=∣A∣1A∗=a1a2⋯an1 a2⋯an0a1a3⋯an⋱0a1⋯an−1 = a110a21⋱0an1
