中大南方学院孙明岩 § 6伴随矩阵及相应习题 伴随矩阵 设n阶方阵 练习 求矩阵 使满足 *聊城大学数学科学学院 ---王文省 * 由方阵 中元素 的代数余子式 伴随矩阵 按转置方式排成的 阶方阵，称为方阵 的伴随矩阵，记作 定理 阶方阵 可逆的充分必要条件是 并且当 可逆时， 的逆矩阵可表示为 其中， 是 的伴随矩阵． 上述定理不仅说明了方阵可逆的条件，而且在方阵可逆的情况下，给出了应用伴随矩阵求逆矩阵的方法． 其中 解：若 存在，则用 左乘上式， 右乘上式，有 即 可解得 ， ，故知 都可逆．且 得 所以 同样可得出 于是 矩阵习题 主要内容 二. 典型例题 三. 测验题 一. 主要内容 1. 矩阵的定义 简记为 实矩阵: 元素是实数 复矩阵： 元素是复数 一些特殊的矩阵： 零矩阵、行矩阵、列矩阵、方阵、 对角阵、数量阵、单位阵 2. 矩阵的基本运算 矩阵相等: 同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等 两个矩阵同型，且对应元素相等 矩阵加(减)法：两个同型矩阵，对应元素相加(减) 加法满足 数乘满足 数与矩阵相乘： 数 与矩阵 的乘积记作 或 ，规定为 矩阵与矩阵相乘： 设 规定 其中 乘法满足 矩阵乘法不满足：交换律、消去律 A是n 阶方阵， 方阵的幂： 方阵的多项式： 并且 (m,k为正整数) 方阵的行列式： 满足: 转置矩阵: 把矩阵 的行换成同序数的列得到的 新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作 . 满足： 对称矩阵和反对称矩阵： 幂等矩阵： 为n阶方阵，且 伴随矩阵： 行列式 的各个元素的代数余子式 所 构成的如下矩阵 3. 逆矩阵 定义： A为n阶方阵，若存在n阶方阵,使得 则称矩阵A是可逆的(非奇异的、非退化的、满秩的) 矩阵B称为矩阵A的逆矩阵。 唯一性： 若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的. 判定定理: n阶方阵A可逆 且 推论： 设A、B为同阶方阵，若 则A、B都可逆，且 满足规律： 逆矩阵求法： (1)待定系数法 (2)伴随矩阵法 (3)初等变换法 分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似． 4. 分块矩阵 5. 初等变换 对换变换、倍乘变换、倍加变换 逆变换 初等变换 三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的 初等变换． 初等矩阵： 由单位矩阵E经过一次初等变换得到的方阵 称为初等矩阵. 三种初等变换对应着三种初等方阵： 初等对换矩阵、初等倍乘矩阵、初等倍加矩阵 6. 初等矩阵 初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。 7. 初等矩阵与初等变换的关系： 初等变换 初等矩阵 初等逆变换 初等逆矩阵 定理： 8. 用初等变换法求矩阵的逆矩阵 可逆矩阵可以经过若干次初等行变换化为单位矩阵. 定理： 可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积 推论1： 推论2： 如果对可逆矩阵 和同阶单位矩阵 作同样的初等 行变换，那么当 变成单位矩阵 时， 就变成 。 即， 9. 解矩阵方程的初等变换法 或者 矩阵的基本运算 方阵的幂 逆矩阵的求解、证明 矩阵方程 矩阵的分块运算 二. 典型例题 1. 矩阵的基本运算 例1：设矩阵 求与A可交换的所有矩阵。 分析：根据乘法定义及矩阵相等定义求 解：设所求矩阵为 由 得 其中a，b为实数 例2：设 求 的行列式。 分析：直接计算困难，可利用逆矩阵的定义先化简再计算 解： 例3：设 4 阶方阵 其中 均为 4 维列向量，且已知行列式 求行列式 分析：根据矩阵加法定义及行列式性质求 解： *聊城大学数学科学学院 ---王文省
