方程组通解的参数向量形式 基本变量和自由变量

基本变量和自由变量

若某方程组经过化简都得到：

{ x 1 + 6 x 2 + 3 x 4 = 0 x 3 − 4 x 4 = 5 x 5 = 7 \begin{cases}x_1+6x_2+\quad\quad3x_4\quad=0\\\quad \quad \quad \quad \quad x_3-4x_4\quad=5\\\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad x_5=7\end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧​x1​+6x2​+3x4​=0x3​−4x4​=5x5​=7​

则该方程组的通解为：

{ x 1 = − 6 x 2 − 3 x 4 x 2 为 自 由 变 量 x 3 = 5 + 4 x 4 x 4 为 自 由 变 量 x 5 = 7 \begin{cases}x_1=-6x_2-3x_4\\x_2为自由变量\\x_3=5+4x_4\\x_4为自由变量\\x_5=7\end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​x1​=−6x2​−3x4​x2​为自由变量x3​=5+4x4​x4​为自由变量x5​=7​

其中 x 1 x_1 x1​， x 3 x_3 x3​， x 5 x_5 x5​为基本变量，剩下的 x 2 x_2 x2​和 x 4 x_4 x4​为自由变量。

若齐次方程 A x = 0 Ax=0 Ax=0的通解至少有一个自由变量，则此齐次方程有非平凡解。

将上述方程的通解写成参数向量形式

方法如下：

x = [ x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 ] = [ − 6 x 2 − 3 x 4 x 2 5 + 4 x 4 x 4 7 ] = [ 0 0 5 0 7 ] + [ − 6 x 2 x 2 0 0 0 ] + [ − 3 x 4 0 4 x 4 x 4 0 ] = [ 0 0 5 0 7 ] + x 2 [ − 6 1 0 0 0 ] + x 4 [ − 3 0 4 1 0 ] x=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-6x_2-3x_4\\x_2\\5+4x_4\\x_4\\7 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}0\\0\\5\\0\\7\end{bmatrix}+ \begin{bmatrix}-6x_2\\x_2\\0\\0\\0\end{bmatrix}+ \begin{bmatrix}-3x_4\\0\\4x_4\\x_4\\0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\5\\0\\7\end{bmatrix}+ x_2\begin{bmatrix}-6\\1\\0\\0\\0\end{bmatrix}+ x_4\begin{bmatrix}-3\\0\\4\\1\\0 \end{bmatrix} x=⎣⎢⎢⎢⎢⎡​x1​x2​x3​x4​x5​​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎢⎢⎡​−6x2​−3x4​x2​5+4x4​x4​7​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎢⎢⎡​00507​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​+⎣⎢⎢⎢⎢⎡​−6x2​x2​000​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​+⎣⎢⎢⎢⎢⎡​−3x4​04x4​x4​0​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎢⎢⎡​00507​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​+x2​⎣⎢⎢⎢⎢⎡​−61000​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​+x4​⎣⎢⎢⎢⎢⎡​−30410​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​

令：

p = [ 0 0 5 0 7 ] p=\begin{bmatrix}0\\0\\5\\0\\7\end{bmatrix} p=⎣⎢⎢⎢⎢⎡​00507​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​

u = [ − 6 1 0 0 0 ] u=\begin{bmatrix}-6\\1\\0\\0\\0\end{bmatrix} u=⎣⎢⎢⎢⎢⎡​−61000​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​

v = [ − 3 0 4 1 0 ] v=\begin{bmatrix}-3\\0\\4\\1\\0 \end{bmatrix} v=⎣⎢⎢⎢⎢⎡​−30410​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​

则上述方程组的通解的向量形式为：

x = p + x 2 u + x 4 v x=p+x_2 u+x_4 v x=p+x2​u+x4​v