最小生成树
在含有n个顶点的连通图中选择n-1条边，构成一棵极小连通子图，并使该连通子图中n-1条边上权值之和达到最小，则称其为连通网的最小生成树。
例如，对于如上图G4所示的连通网可以有多棵权值总和不相同的生成树。
克鲁斯卡尔算法介绍
克鲁斯卡尔(Kruskal)算法，是用来求加权连通图的最小生成树的算法。
**基本思想：**按照权值从小到大的顺序选择n-1条边，并保证这n-1条边不构成回路。
**具体做法：**首先构造一个只含n个顶点的森林，然后依权值从小到大从连通网中选择边加入到森林中，并使森林中不产生回路，直至森林变成一棵树为止。
克鲁斯卡尔算法图解
以上图G4为例，来对克鲁斯卡尔进行演示(假设，用数组R保存最小生成树结果)。
第1步：将边(E,F)加入R中。
边**(E,F)的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。 第2步：将边(C,D)加入R中。 上一步操作之后，边 第3步：将边(D,E)加入R中。 上一步操作之后，边 第四步：将边(B,F)加入R中。 上一步操作之后，边 第5步：将边(E,G)加入R中。 上一步操作之后，边 第6步：将边(A,B)加入R中。 上一步操作之后，边
此时，最小生成树构造完成！它包括的边依次是：(E,F) (C,D) (D,E) (B,F) (E,G) (A,B)。
克鲁斯卡尔算法分析
根据前面介绍的克鲁斯卡尔算法的基本思想和做法，我们能够了解到，克鲁斯卡尔算法重点需要解决的以下两个问题：
问题一对图的所有边按照权值大小进行排序。
问题二将边添加到最小生成树中时，怎么样判断是否形成了回路。
问题一很好解决，采用排序算法进行排序即可。
问题二，处理方式是：记录顶点在"最小生成树"中的终点，顶点的终点是"在最小生成树中与它连通的最大顶点"(关于这一点，后面会通过图片给出说明)。然后每次需要将一条边添加到最小生存树时，判断该边的两个顶点的终点是否重合，重合的话则会构成回路。 以下图来进行说明：
在将(E,F) (C,D) (D,E)加入到最小生成树R中之后，这几条边的顶点就都有了终点：
(01) C的终点是F。 (02) D的终点是F。 (03) E的终点是F。 (04) F的终点是F。
关于终点，就是将所有顶点按照从小到大的顺序排列好之后；某个顶点的终点就是"与它连通的最大顶点"。 因此，接下来，虽然(C,E)是权值最小的边。但是C和E的重点都是F，即它们的终点相同，因此，将(C,E)加入最小生成树的话，会形成回路。这就是判断回路的方式。
克鲁斯卡尔算法的代码说明
有了前面的算法分析之后，下面我们来查看具体代码。这里选取"邻接矩阵"进行说明，对于"邻接表"实现的图在后面的源码中会给出相应的源码。
1. 基本定义
// 邻接矩阵typedef struct _graph{char vexs[MAX]; // 顶点集合int vexnum; // 顶点数int edgnum; // 边数int matrix[MAX][MAX]; // 邻接矩阵}Graph, *PGraph;// 边的结构体typedef struct _EdgeData{char start; // 边的起点char end; // 边的终点int weight; // 边的权重}EData;
Graph是邻接矩阵对应的结构体。
vexs用于保存顶点，vexnum是顶点数，edgnum是边数；matrix则是用于保存矩阵信息的二维数组。例如，matrix[i][j]=1，则表示"顶点i(即vexs[i])"和"顶点j(即vexs[j])"是邻接点；matrix[i][j]=0，则表示它们不是邻接点。
EData是邻接矩阵边对应的结构体。
转自 /skywang12345/
2. 克鲁斯卡尔算法
模板1
/** 克鲁斯卡尔（Kruskal)最小生成树*/void kruskal(Graph G){int i,m,n,p1,p2;int length;int index = 0;// rets数组的索引int vends[MAX]={0};// 用于保存"已有最小生成树"中每个顶点在该最小树中的终点。EData rets[MAX]; // 结果数组，保存kruskal最小生成树的边EData *edges; // 图对应的所有边// 获取"图中所有的边"edges = get_edges(G);// 将边按照"权"的大小进行排序(从小到大)sorted_edges(edges, G.edgnum);for (i=0; i<G.edgnum; i++){p1 = get_position(G, edges[i].start); // 获取第i条边的"起点"的序号p2 = get_position(G, edges[i].end);// 获取第i条边的"终点"的序号m = get_end(vends, p1); // 获取p1在"已有的最小生成树"中的终点n = get_end(vends, p2); // 获取p2在"已有的最小生成树"中的终点// 如果m!=n，意味着"边i"与"已经添加到最小生成树中的顶点"没有形成环路if (m != n){vends[m] = n; // 设置m在"已有的最小生成树"中的终点为nrets[index++] = edges[i]; // 保存结果}}free(edges);// 统计并打印"kruskal最小生成树"的信息length = 0;for (i = 0; i < index; i++)length += rets[i].weight;printf("Kruskal=%d: ", length);for (i = 0; i < index; i++)printf("(%c,%c) ", rets[i].start, rets[i].end);printf("\n");}
模板2
#include<stdio.h>#include<string.h>#define inf 0x3f3f3f3fint map[110][110],dis[110],visit[110];/*关于三个数组：map数组存的为点边的信息，比如map[1][2]=3，表示1号点和2号点的距离为3dis数组存的为起始点与每个点的最短距离，比如dis[3]=5，表示起始点与3号点最短距离为5visit数组存的为0或者1，1表示已经走过这个点。*/int n,m;int dijstra(){int i,j,pos=1,min,sum=0;memset(visit,0,sizeof(visit));//初始化为.，表示开始都没走过for(i=1; i<=n; ++i){dis[i]=map[1][i];}visit[1]=1;dis[1]=0;for(i=1; i<n; i++){min=inf;for(j=1; j<=n; ++j){if(visit[j]==0&&min>dis[j]){min=dis[j];pos=j;}}visit[pos]=1;//表示这个点已经走过for(j=1; j<=n; ++j){if(visit[j]==0&&dis[j]>dis[pos]+map[pos][j])//更新dis的值dis[j]=dis[pos]+map[pos][j];}}return dis[n];}int main(){int i,j;while(~scanf("%d%d",&n,&m),n||m)//n表示n个点，m表示m条边{for(i=1; i<=n; ++i){for(j=1; j<=n; ++j){map[i][j]=inf;//开始时将每条边赋为最大值}}int a,b,c;for(i=1; i<=m; ++i){scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);if(c<map[a][b])//防止有重边map[a][b]=map[b][a]=c;}int count=dijstra();printf("%d\n",count);}return 0;}
