素数求和问题，也是大一的一次实验。重新回顾，重新体会。
问题描述：从键盘输入任意一个整数n，编程计算并输出1～n之间所有素数之和。
附加题(选做)：针对实验的问题想出一种算法，能对任意一个5
首先，必须了解下素数的概念： (百度百科)/view/10626.htm?fromId=1767
阶段一。常规逐个判断是否是素数
这里，n的大小没做具体要求，所用时间，所占内存也都没限制，所以代码比较随意，常规的判断一个数是否是素数，满足条件就累加的和上。
效率低，但也是我最初的方法。还是粘出来留念留念。
#include#include#includeintis_prime(intn)
{
inti,j,ret;
intsum=2;
for(j=2;j<=n;j++)
{ret=1;/*利用ret的不同返回值，进行求和*/if(j%2!=0)
{for(i=3;i<=sqrt(j);i++)
{if(j%i==0)ret=0;
}
}else
ret=0;if(ret==1)sum=sum+j;
}returnsum;
}intmain()
{intn,result;printf("pleaseinputanumber:");scanf("%d",&n);result=is_prime(n);printf("%d",result);return0;
}
阶段二。素数筛选法。
素数筛选法之前我没接触过，没什么概念。是在尝试完成附加题的时候学习的。
基本思想
用筛法求素数的基本思想是：把从1开始的、某一范围内的正整数从小到大顺序排列， 1不是素数，首先把它筛掉。剩下的数中选择最小的数是素数，然后去掉它的倍数。依次类推，直到筛子为空时结束。如有：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 22 23 24 25 26 27 28 29 30
1不是素数，去掉。剩下的数中2最小，是素数，去掉2的倍数，余下的数是：
3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29
剩下的数中3最小，是素数，去掉3的倍数，如此下去直到所有的数都被筛完，求出的素数为：
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29
(以上内容来自百度百科)
现在，利用筛选法，写了个简单的例子，筛选出了100以内所有的素数。
#includeintmain()
{
inta[101],i,j;
for(i=2;i<=100;i++)//先初始化，且各位都不为0
a[i]=i;
for(i=2;i<=50;i++)//直接判断max/2即可大于一半后该数的整数倍不在max范围内，无需考虑
{if(a[i]!=0)
{for(j=i+i;j<=100;j+=i)//每次把i的倍数置0，去掉。a[j]=0;
}
}for(i=2;i<=100;i++)
{if(a[i]!=0)//通过判断是否为0，进行筛选。printf("%3d",a[i]);
}return0;
}
相对来说，利用这个筛选法比常规的逐个判断在效率上有了很大的提高，可以说以我当时初学c的水平，最多也就只能写出这样的代码了。
可是，要想完成附加题，这样的显然是不行的。 且不说时间，就内存来说，32M = 33,554,432 < 1,000,000,000 * 4 。也不允许，所以，常规的筛法是不能完成的。
可是，附加题加分的阿。。 所以呢，，， 在万般无奈下，选择了百度.....就有了接下去的延伸。
阶段三。算法优化。
1.大牛算法一。 ----忘记出处了，在此道个歉了。
#include#include#defineSIZE1000000000#defineBITMAPSIZE8unsignedcharmap[SIZE/2/BITMAPSIZE+1];unsignedcharbsm[10000];/*这是一个估算值*/intbn[10000];intmain()
{inti,j,l;intc=0;intst;intbasn;
st=clock();/*计算素数*/
basn=(int)sqrt(SIZE)+1;for(i=3;;i+=2)
{if((bsm[i/BITMAPSIZE]&(1<
{for(j=i<
{
bsm[j/BITMAPSIZE]|=(1<
}
bn[c++]=i;if(i>basn)break;
}
}for(i=0;i
{
j=bn[i]<
l=j+bn[i];do
{map[l/(BITMAPSIZE*2)]|=(1<>1)%BITMAPSIZE));
l+=j;
}while(l
}
c=0;for(i=1;i
{
i++;if((map[i/BITMAPSIZE]&(1<
{
c++;
}
i++;if((map[i/BITMAPSIZE]&(1<
{
c++;
}
}
printf("1~1000000000number:%d\n",c);return0;
}
本质就是素数筛，只不过用了两遍。
第一组循环统计根号十亿内的素数。正常的筛法应用。
第二组循环用上面计算出来的素数筛剩余的范围。
这里比较有意思的地方就是它节省内存用的技巧。1.使用位作标志。2.它删掉了所有的偶数。也就是说第1位表示3，第2位表示5等等。也正因如此它的筛的步长才是两倍的素数，而起始步长是3倍的素数。
第三组循环就是统计标志位了。
2.大牛算法二。----bccn里面的beyondyf版主，杨大哥的算法。
在上一算法的基础上进一步优化，代码量是少了。同时，也更难懂了。
#include#defineRANGE1000000000
charP[RANGE/16+1];
intmain()
{
inti,j,t,c=1;
for(i=3;i<=RANGE;i+=2)if(!(P[i>>4]&(1<>1&7))))
for(c++,t=i+i,j=t+i;j>0&&j<=RANGE;j+=t)P[j>>4]|=1<>1&7);
printf("%d\n",c);
return0;
}
3.大牛算法三。------原文出处/redraiment/article/details/207 作者：子清行
要找出一个数的因子，其实不需要检查 2→k，只要从 2->sqrt(k)，就可以了。所有，我们筛法里，其实只要筛到sqrt(n)就已经找出所有的素数了，其中n为要搜索的范围。
另外，我们不难发现，每找到一个素数 k，就一次删除 2k, 3k, 4k,..., ik，不免还是有些浪费，因为2k已经在找到素数2的时候删除过了，3k已经在找到素数3的时候删除了。因此，当 i＜k 时，都已经被前面的素数删除过了，只有那些最小的质因子是k的那些数还未被删除过，所有，就可以直接从 k*k 开始删除。
再有，所有的素数中，除了 2 以外，其他的都是奇数，那么，当 i 是奇数的时候，ik 就是奇数，此时 k*k+ik 就是个偶数，偶数已经被2删除了，所有我们就可以以2k为单位删除步长，依次删除 k*k, k*k+2k, k*k+4k, ...。
我们都清楚，在前面一小段范围内，素数是比较集中的，比如 1→100 之间就有25个素数。越到后面就越稀疏。
因为这些素数本身值比较小，所以搜索范围内，大部分数都是它们的倍数，比如搜索 1→100，这 100 个数。光是 2 的倍数就有 50 个，3 的倍数有 33 个，5的倍数 20 个，7 的倍数 14 个。我们只需搜索到7就可以，因此一共做删除操作50+33+20+14=117次，而 2 和 3 两个数就占了 83 次，这未免太浪费时间了。
所以我们考虑，能不能一开始就排除这些小素数的倍数，这里用 2 和 3 来做例子。
如果仅仅要排除 2 的倍数，数组里只保存奇数：1、3、5...，那数字 k 的坐标就是 k/2。
如果我们要同时排除 2 和 3 的倍数，因为 2 和 3 的最小公倍数是 6，把数字按 6 来分组：6n, 6n+1, 6n+2, 6n+3, 6n+4, 6n+5。其中 6n, 6n+2, 6n+4 是 2 的倍数，6n+3 是 3 的倍数。所以数组里将只剩下 6n+1 和 6n+5。n 从 0 开始，数组里的数字就一次是 1, 5, 7, 11, 13, 17...。
现在要解决的问题就是如何把数字 k 和它的坐标 i 对应起来。比如，给出数字 89，它在数组中的下标是多少呢？不难发现，其实上面的序列，每两个为一组，具有相同的基数 n，比如 1 和 5 ，同是 n=0 那组数，6*0+1 和 6*0+5；31 和 35 同是n=5那组，6*5+1 和 6*5+5。所以数字按6分组，每组2个数字，余数为5的数字在后，所以坐标需要加 1。
所以 89 在第 89/6=14 组，坐标为 14*2=28，又因为 89%6==5，所以在所求的坐标上加 1，即 28+1=29，最终得到 89 的坐标 i=29。同样，找到一个素数 k 后，也可以求出 k*k 的坐标等，就可以做筛法了。
这里，我们就需要用 k 做循环变量了，k 从 5 开始，交替与 2 和 4 相加，即先是 5+2=7，再是 7+4=11，然后又是 11+2=13...。这里我们可以再设一个变量gab，初始为 4，每次做 gab = 6 - gab，k += gab。让gab在2和4之间交替变化。另外，2 和 4 都是 2 的幂，二进制分别为10和100，6的二进制位110，所以可以用 k += gab ^= 6来代替。参考代码：
gab=4;
for(k=5;k*k<=N;k+=gab^=6)
{
...}
gab=4;
for(k=5;k*k<=N;k+=gab^=6)
{...}
但我们一般都采用下标 i 从 0→x 的策略，如果用 i 而不用 k，那应该怎么写呢？
由优化策略(1)可知，我们只要从 k2开始筛选。 n=i/2，我们知道了 i 对应的数字 k 是素数后，根据(2)，那如何求得 k2的坐标 j 呢？这里假设 i 为偶数，即 k=6n+1。
k2= (6n+1)*(6n+1) = 36n2+ 12n + 1，其中 36n2+12n = 6(6n2+2n) 是6的倍数，所以 k2除 6 余 1。
所以 k2的坐标 j = k2/6*2 = 12n2+4n。
由优化策略(2)可知，我们只要依次删除 k2+2l×k, l = 0, 1, 2...。即 (6n+1)×(6n+1+2l)。
我们发现，但l=1, 4, 7...时，(6n+1+2l)是3的倍数，不在序列中。所以我们只要依次删除 k2, k2+4l, k2+4l+2l...，又是依次替换2和4。
为了简便，我们可以一次就删除 k2和 k2+4l 两项，然后步长增加6l。所以我们需要求 len=4l 和 stp=6l。不过这里要注意一点，k2+4k=(6n+1)*(6n+5)，除以6的余数是5，坐标要加1。
len=k*(k+4)/6*2-k2/6*2=(6n+1)*(6n+1+4)/6*2+1-(6n+1)*(6n+1)/6*2=(12n2+12n+1)-(12n2+4n)=8n+1;
stp=k*(k+6)/6*2-k2/6*2=12n+2;
最终，我们得到：
len=8n+1;
stp=12n+2;
j=12n2+4n;
同理可以求出 k=6n+5 时的情况：
len=4n+3;
stp=12n+10;
j=12n2+20n+8;
下面的代码在实现上用了位运算，可能有点晦涩。
#include#include#include#defineN1000000000
#definesize(N/6*2+(N%6==5?2:(N%6>0)))
intp[size/32+1]={1};
intcreat_prime(void)
{
inti,j;
intlen,stp;
intc=size+1;
for(i=1;((i&~1)<<1)*((i&~1)+(i>>1)+1)
{if(p[i>>5]>>(i&31)&1)continue;
len=(i&1)?((i&~1)<<1)+3:((i&~1)<<2)+1;stp=((i&~1)<<1)+((i&~1)<<2)+((i&1)?10:2);j=((i&~1)<<1)*(((i&~1)>>1)+(i&~1)+1)+((i&1)?((i&~1)<<3)+8+len:len);for(;j
{if(p[j>>5]>>(j&31)&1^1)
p[j>>5]|=1L<>5]>>((j-len)&31)&1^1)
p[(j-len)>>5]|=1L<
}if(j-len>5]>>((j-len)&31)&1^1))
p[(j-len)>>5]|=1L<
}returnc;
}intmain(void)
{clock_tt=clock();printf("%d\n",creat_prime());printf("Time:%f",1.0*(clock()-t)/CLOCKS_PER_SEC);returnEXIT_SUCCESS;
}
以上三种优化算法，都达到了要求。在我的机器上，算法3的耗时最短，仅仅4秒多。
不过就我个人目前的能力来说，看懂这些算法还是相当吃力的。 先做个标记，等以后回头了慢慢咀嚼。
