原标题：矩阵的运算及其运算规则
今天清北学堂信息学金牌教研团队给大家汇总了一下矩阵的运算
一、矩阵的加法与减法
1、运算规则设矩阵
则
清北学堂信息学金牌教研团队提醒，两个矩阵相加减，即它们相同位置的元素相加减！注意：只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵(即同型矩阵)，加减法运算才有意义，即加减运算是可行的．2、运算性质(假设运算都是可行的)满足交换律和结合律
交换律
；
结合律
．
二、矩阵与数的乘法
1、运算规则数
乘矩阵A，就是将数
乘矩阵A中的每一个元素，记为
或
．特别地，称
称为
的负矩阵．
2、运算性质满足结合律和分配律结合律：(λμ)A=λ(μA)；(λ+μ)A =λA+μA．分配律：λ(A+B)=λA+λB．典型例题例6.5.1已知两个矩阵
满足矩阵方程
，求未知矩阵
．解由已知条件知
三、矩阵与矩阵的乘法
1、运算规则设
，
，则A与B的乘积
是这样一个矩阵：(1) 行数与(左矩阵)A相同，列数与(右矩阵)B相同，即
．(2) C的第
行第
列的元素
由A的第
行元素与B的第
列元素对应相乘，再取乘积之和．典型例题例6.5.2设矩阵
计算
解
是
的矩阵．设它为
想一想：设列矩阵
，行矩阵
，
和
的行数和列数分别是多少呢
是3×3的矩阵，
是1×1的矩阵，即
只有一个元素．课堂练习1、设
，
，求
．
2、在第1道练习题中，两个矩阵相乘的顺序是A在左边，B在右边，称为A左乘B或B右乘A．如果交换顺序，让B在左边，A在右边，即A右乘B，运算还能进行吗？请算算试试看．并由此思考：两个矩阵应当满足什么条件，才能够做乘法运算．
3、设列矩阵
，行矩阵
，求
和
，比较两个计算结果，能得出什么结论吗？
4、设三阶方阵
，三阶单位阵为
，试求
和
，并将计算结果与A比较，看有什么样的结论．
解：第1题
．第2题对于
，
．求
是有意义的，而
是无意义的．
清北学堂信息学金牌教研团队结论
结论1只有在下列情况下，两个矩阵的乘法才有意义，或说乘法运算是可行的：左矩阵的列数＝右矩阵的行数．
第3题
是
矩阵，
是
的矩阵．
．
结论2在矩阵的乘法中，必须注意相乘的顺序．即使在
与
均有意义时，也未必有
=
成立．可见矩阵乘法不满足交换律．
第4题计算得：
．
结论3方阵A和它同阶的单位阵作乘积，结果仍为A，即
．单位阵在矩阵乘法中的作用相当于数1在我们普通乘法中的作用．典型例题例6.5.3设
，试计算
和
．解
．
结论4两个非零矩阵的乘积可以是零矩阵．由此若
，不能得出
或
的结论．
例6.5.4利用矩阵的乘法，三元线性方程组
可以写成矩阵的形式
＝
若记系数、未知量和常数项构成的三个矩阵分别为
，
，
，则线性方程组又可以简写为矩阵方程的形式：
2、运算性质(假设运算都是可行的)
(1)结合律
．(2)分配律
(左分配律)；
(右分配律)．(3)
3、方阵的幂定义：设A是方阵，
是一个正整数，规定
，
显然，记号
表示
个A的连乘积．
下面是有清北学堂信息学金牌教研团队给大家总结的矩阵的转置
四、矩阵的转置
1、定义
定义：将矩阵A的行换成同序号的列所得到的新矩阵称为矩阵A的转置矩阵，记作
或
．例如，矩阵
的转置矩阵为
．
2、运算性质(假设运算都是可行的)
(1)
(2)
(3)
(4)
，
是常数．
2、运算性质(假设运算都是可行的)
(1)
(2)
(3)
(4)
，
是常数．典型例题
例6.5.5 利用矩阵
验证运算性质：
解
而
所以
．
定义：如果方阵满足
，即
，则称A为对称矩阵．
对称矩阵的特点是：它的元素以主对角线为对称轴对应相等．
五、方阵的行列式
1、定义
定义：由方阵A的元素所构成的行列式(各元素的位置不变)，称为方阵A的行列式，记作
或
2、运算性质(1)
(行列式的性质)(2)
，特别地：
(3)
(
是常数，A的阶数为n)思考：设A为
阶方阵，那么
的行列式
与A的行列式
之间的关系为什么不是
，而是
？不妨自行设计一个二阶方阵，计算一下
和
．例如
，则
．于是
，而
．思考：设
，有几种方法可以求
？解 方法一：先求矩阵乘法
，得到一个二阶方阵，再求其行列式．方法二：先分别求行列式
，再取它们的乘积．
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