超实数的公理系统（Axioms for the Hyperreal Numbers）是无穷小微积分的理论基础。J.Keisler在《无穷小微积分基础》第一章第三节里面给出了答案。
对此，我们今后将以“袖珍电子书”的形式予以介绍。现将《无穷小微积分基础》教学辅导书的内容目录附后，先“吹吹风”。
袁萌 3月17日
附：《无穷小微积分基础》教学辅导书内容目录如下：
CONTENTS
Preface. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
Chapter 1. The Hyperreal Numbers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 1
1A. Structure of the Hyperreal Numbers (x1.4, x1.5) . . . . . . .. . . . . . . 1
1B. Standard Parts (x1.6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1C. Axioms for the Hyperreal Numbers (xEpilogue) . . . . .. . . . . . . . . 7
1D. Consequences of the Transfer Axiom . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 9
1E. Natural Extensions of Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 14
1F. Appendix. Algebra of the Real Numbers . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 19
1G. Building the Hyperreal Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 23
Chapter 2. Differentiation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 33
2A. Derivatives (x2.1, x2.2) . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2B. Infinitesimal Microscopes and Infinite Telescopes . . . . . . . . . .. . . 35
2C. Properties of Derivatives (x2.3, x2.4) . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2D. Chain Rule (x2.6, x2.7) . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Chapter 3. Continuous Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 43
3A. Limits and Continuity (x3.3, x3.4) . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3B. Hyperintegers (x3.8) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3C. Properties of Continuous Functions (x3.5–x3.8) . . . . . . .. . . . . . . . 49
Chapter 4. Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 59
4A. The Definite Integral (x4.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 59
4B. Fundamental Theorem of Calculus (x4.2) . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 64
4C. Second Fundamental Theorem of Calculus (x4.2) . . . . . . .. . . . . . 67
Chapter 5. Limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 71
5A. "; . Conditions for Limits (x5.8, x5.1) . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5B. L’Hospital’s Rule (x5.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Chapter 6. Applications of the Integral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 77
6A. Infinite Sum Theorem (x6.1, x6.2, x6.6) . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 77
6B. Lengths of Curves (x6.3, x6.4) . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6C. Improper Integrals (x6.7) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 87
Chapter 7. Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 91
7A. Inverse Function Theorem (x7.3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 91
7B. Derivatives of Trigonometric Functions (x7.1, x7.2) . . . . . . .. . . . 94
7C. Area in Polar Coordinates (x7.9) . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Chapter 8. Exponential Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 99
8A. Extending Continuous Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 99
8B. The Functions ax and logb x (x8.1, x8.2) . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 100
8C. Derivatives of Exponential Functions (x8.3) . . . . . . .. . . . . . . . . . . 102
Chapter 9. Infinite Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
9A. Sequences (x9.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
9B. Series (x9.2 – x9.6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 108
9C. Taylor’s Formula and Higher Differentials (x9.10) . . . . . . .. . . . . . 110
Chapter 10. Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 115
10A. Hyperreal Vectors (x10.8) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 115
10B. Vector Functions (x10.6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Chapter 11. Partial Differentiation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 121
11A. Continuity in Two Variables (x11.1, x11.2) . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 121
11B. Partial Derivatives (x11.3, x11.4) . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
11C. Chain Rule and Implicit Functions (x11.5, x11.6) . . . . . . .. . . . . . 125
11D. Maxima and Minima (x11.7) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 128
11E. Second Partial Derivatives (x11.8) . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
Chapter 12. Multiple Integration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 137
12A. Double Integrals (x12.1, x12.2) . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
12B. Infinite Sum Theorem for Two Variables (x12.3) . . . . . . .. . . . . . . 140
12C. Change of Variables in Double Integrals (x12.5) . . . . . . .. . . . . . . 144
Chapter 13. Vector Calculus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151
13A. Line Integrals (x13.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
13B. Green’s Theorem (x13.3, x13.4). . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Chapter 14. Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 161
14A. Existence of Solutions (x14.4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 162
14B. Uniqueness of Solutions (x14.4). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 167
14C. An Example where Uniqueness Fails (x14.3) . . . . . . .. . . . . . . . . . . 171
Chapter 15. Logic and Superstructures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 175
15A. The Elementary Extension Principle . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 175
15B. Superstructures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
15C. Standard, Internal, and External Sets . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 184
15D. Bounded Ultrapowers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 189
15E. Saturation and Uniqueness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 194
References. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
Index. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
（全文完）
