一.相关函数:
%符号积分
int(f,v)
int(f,v,a,b)
%数值积分
trapz(x,y)%梯形法沿列方向求函数Y关于自变量X的积分
cumtrapz(x,y)%梯形法沿列方向求函数Y关于自变量X的累计积分
quad(fun,a,b,tol)%采用递推自适应Simpson法计算积分
quad1(fun,a,b,tol)%采用递推自适应Lobatto法求数值积分
dbquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,zmax,tol)%二重(闭型)数值积分指令
triplequad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,zmax,tol)%三重(闭型)数值积分指令
二.示例:
例1:计算f(t)=exp(-t^2)在[0,1]上的定积分
本例演示:计算定积分常用方法
>>symsx
int(exp(-x^2),0,1)
ans=
1/2*erf(1)*pi^(1/2)%erf为误差函数
>>vpa(int(exp(-x^2),0,1))
ans=
.7468241328124270
>>d=0.001;x=0:d:1;d*trapz(exp(-x.^2))
ans=
0.7468
>>quad('exp(-x.^2)',0,1,1e-8)
ans=
0.7468
例2:计算f(t)=1/log(t)在[0,x],0
注意:被积函数于x=0无义,在x-->1^-处为负无穷
本例演示:用特殊函数表示的积分结果,如何用mfun指令
(1)
symstx
ft=1/log(t);
sx=int(ft,t,0,x)
sx=
-Ei(1,-log(x))%完全椭圆函数
(2)
x=0.5:0.1:0.9
sx_n=-mfun('Ei',1,-log(x))
x=
0.50000.60000.70000.80000.9000
sx_n=
-0.3787-0.5469-0.7809-1.1340-1.7758
(3)%图示被函数和积分函数
clf
ezplot('1/log(t)',[0.1,0.9])
gridon
holdon
plot(x,sx_n,'LineWidth',3)
Char1='1/ln(t)';
Char2='{int_0^x}1/ln(t)dt';
title([Char1,'and',Char2])
legend(Char1,Char2,'Location','SouthWest')
例3:计算f(t)=exp(-sin(t))在[0,4]上的定积分
注意:本题被函数之原函数无"封闭解析表达式",符号计算无法解题!
本例演示:符号计算有限性
(1)符号计算解法
symstx
ft=exp(-sin(t))
sx=int(ft,t,0,4)
ft=exp(-sin(t))
Warning:Explicitintegralcouldnotbefound.
>Insym.intat58
sx=
int(exp(-sin(t)),t=0..4)
(2)数值计算解法
dt=0.05;%采样间隔
t=0:dt:4;%数值计算适合于有限区间上,取有限个采样点
Ft=exp(-sin(t));
Sx=dt*cumtrapz(Ft);%计算区间内曲线下图形面积,为小矩形面积累加得
Sx(end)%所求定积分值
%图示
plot(t,Ft,'*r','MarkerSize',4)
holdon
plot(t,Sx,'.k','MarkerSize',15)
holdoff
xlabel('x')
legend('Ft','Sx')
>>ans=
3.0632
例4:绘制积分图形,y=2/3*exp(-t/2)*cos(sqrt(3)/2*t);积分s(x)=int(y,t,0,x)于[0,4*pi]上
symsttao
y=2/3*exp(-t/2)*cos(sqrt(3)/2*t);
s=subs(int(y,t,0,tao),tao,t);%获得积分函数
subplot(2,1,1)
%
ezplot(y,[0,4*pi]),ylim([-0.2,0.7])%单变量符号函数可视化,多变量用ezsurf
gridon
subplot(2,1,2)
ezplot(s,[0,4*pi])
gridon
title('s=inty(t)dt')
