来源：侯忠生教授的《无模型自适应控制：理论与应用》（科学出版社）。
👉对应书本 3.3 单输入单输出系统(SISO)偏格式动态线性化(PFDL) 和 4.3 单输入单输出系统(SISO)偏格式动态线性化(PFDL)的无模型自适应控制(MFAC)
PFDL
偏格式动态线性化
(partial form dynamic linearization)
数据模型：
Δ y ( k + 1 ) = ϕ p , L T ( k ) Δ U L ( k ) \Delta y\left( {k + 1} \right) = \phi_{p,L}^{T}(k)\Delta U_{L}(k) Δy(k+1)=ϕp,LT(k)ΔUL(k)
伪偏导(PPD) ϕ p , L ( k ) \phi_{p,L}(k) ϕp,L(k) 的下标 p 表示partial。
整数L为控制输入线性化长度常数，当 L=1 时，PFDL数据模型可变为CFDL数据模型。
ϕ p , L ( k ) = [ ϕ 1 ( k ) , ϕ 2 ( k ) , … , ϕ L ( k ) ] T \phi_{p,L}(k) = \left\lbrack {\phi_{1}(k),\phi_{2}(k),\ldots{,\phi}_{L}(k)} \right\rbrack^{T} ϕp,L(k)=[ϕ1(k),ϕ2(k),…,ϕL(k)]T
Δ U L ( k ) = [ Δ u ( k ) , … , Δ u ( k − L + 1 ) ] T \Delta U_{L}(k) = \left\lbrack {\Delta u(k),\ldots,\Delta u\left( {k - L + 1} \right)} \right\rbrack^{T} ΔUL(k)=[Δu(k),…,Δu(k−L+1)]T
SISO-PFDL-MFAC
学习控制律
u ( k ) = u ( k − 1 ) + ρ 1 ϕ 1 ( k ) [ y ∗ ( k + 1 ) − y ( k ) ] ∣ ϕ 1 ( k ) ∣ 2 + λ − ϕ 1 ( k ) ∑ i = 2 L ρ i ϕ i ( k ) Δ u ( k − i + 1 ) ∣ ϕ 1 ( k ) ∣ 2 + λ u(k) = u\left( {k - 1} \right) + \frac{\rho_{1}\phi_{1}(k)\left\lbrack {y^{*}\left( {k + 1} \right) - y(k)} \right\rbrack}{\left| \phi_{1}(k) \right|^{2} + \lambda} - \frac{\phi_{1}(k){\sum\limits_{i = 2}^{L}\rho_{i}}\phi_{i}(k)\Delta u(k - i + 1)}{\left| \phi_{1}(k) \right|^{2} + \lambda} u(k)=u(k−1)+∣ϕ1(k)∣2+λρ1ϕ1(k)[y∗(k+1)−y(k)]−∣ϕ1(k)∣2+λϕ1(k)i=2∑Lρiϕi(k)Δu(k−i+1)
为了让控制算法更具一般性，引入步长因子 ρ∈(0,1] (i= 1,2, .… , L)
PPD参数估计算法
ϕ p , L ^ ( k ) = ϕ p , L ^ ( k − 1 ) + η Δ U L ( k − 1 ) μ + ∣ | Δ U L ( k − 1 ) | ∣ 2 [ Δ y ( k ) − ϕ p , L T ^ ( k − 1 ) Δ U L ( k − 1 ) ] \hat{\phi_{p,L}}(k) = \hat{\phi_{p,L}}\left( {k - 1} \right) + \frac{\eta\Delta U_{L}\left( {k - 1} \right)}{\mu + \left| \middle| \Delta U_{L}\left( {k - 1} \right) \middle| \right|^{2}}\left\lbrack \Delta y(k) - \hat{\phi_{p,L}^{T}}(k - 1)\Delta U_{L}\left( {k - 1} \right) \right\rbrack ϕp,L^(k)=ϕp,L^(k−1)+μ+∣∣ΔUL(k−1)∣∣2ηΔUL(k−1)[Δy(k)−ϕp,LT^(k−1)ΔUL(k−1)]
其中，μ>0为权重因子，为了让控制算法更具一般性，引入步长因子 η∈(0,2] .
PFDL-MFAC需要在线调整的是一个L维的向量，即PPD的估计值 ϕ p , L ϕ_{p,L} ϕp,L，并且控制输入线性化长度常数L可人为选择，可设定为从1到 n y + n u n_y+n_u ny+nu 以内的任一整数，对于简单的系统，可以设 L=1.
相比于CFDL-MFAC，更多步长因子 ρ 1 , ρ 2 , . . . , ρ L ρ_1,ρ_2,...,ρ_L ρ1,ρ2,...,ρL的引入，使得PFDL-MFAC具有更多的可调自由度以及更强的设计灵活性。
PPD参数重置算法
如果
∣ ϕ p , L ^ ( k ) ∣ ≤ ε \left| {\hat{\phi_{p,L}}(k)} \right| \leq \varepsilon ϕp,L^(k) ≤ε
或
∣ Δ U L ( k − 1 ) ∣ ≤ ε \left| {\Delta U_L\left( {k - 1} \right)} \right| \leq \varepsilon ∣ΔUL(k−1)∣≤ε
或
s i g n ( ϕ p , L ^ ( k ) ) ≠ s i g n ( ϕ p , L ^ ( 1 ) ) sign\left( {\hat{\phi_{p,L}}(k)} \right) \neq sign\left( {\hat{\phi_{p,L}}(1)} \right) sign(ϕp,L^(k))=sign(ϕp,L^(1))
则
ϕ p , L ^ ( k ) = ϕ p , L ^ ( 1 ) \hat{\phi_{p,L}}(k) = \hat{\phi_{p,L}}(1) ϕp,L^(k)=ϕp,L^(1)
算法重置机制的引入是为了使PPD估计算法具有更强的对时变参数的跟踪能力。
仿真实验
【MFAC】基于偏格式动态线性化的无模型自适应控制（Matlab代码）
