正题
题目链接:/problem/CF1427F
题目大意
有一个1∼6n1\sim 6n1∼6n的序列,两个人轮流操作,每次取走连续的三个数字。
现在给出先手取走的数字集合,要求构造方案。
保证有解
1≤n≤2001\leq n\leq 2001≤n≤200
解题思路
我们给先手取的颜色标为000,后手的颜色标为111。
我们考虑一下能不能求出哪些牌是在一次中取走的,这个取法很像一个括号匹配,也就是一次取走的东西中不会产生交叉,而如果不会产生交叉,那么我们按照括号匹配的找法去找也是对的。
所以我们可以用一个栈存按顺序存牌,当栈顶三个颜色相同时就弹出这三个,表示这三个是在同一次中取走的。
并且我们还能建立一些依赖关系,形如取走xxx之前必须yyy,这些依赖关系能构成一个森林。
现在相当于给出这样一棵森林,每次取走一个叶子,要求颜色是010101交错的。
我们找一下这个森林的性质,会发现每个节点的颜色都和父节点的不同,还有000和111的数量相等。
一种取法是000和111都随便取,但是111必须留下一个根到最后取,现在我们证明这种取法的正确性:
首先如果用这种取法正确,那么一个有解的状态就是存在一个为111的根并且存在一个当前要取的颜色的叶子。然后我们证明所有有解状态都能转移到有解状态即可。
假设现在要取000,那么此时010101数量相同。假设随便一个000后就没有了111的叶子,此时111的数量比000多111,并且有一个为111的根,因为没有为111的叶子,应该每个111都能找到一个为000的儿子,但是111的数量比000多,所以显然不合法,假设不成立。
假设现在要取111,那么此时取走随便一个不是最后一个根的111后010101数量相同,假设此时没有为000的儿子。我们每个000去找儿子中的一个111,理论上也应该找得到,但是因为有一个111是根,所以至少有一个000找不到这样一个儿子,所以假设不成立。
所以我们的取法就是除了最后一个为111的根以外其他的都随便取。
时间复杂度:O(n)O(n)O(n)
code
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