无模型自适应ILC原理及代码实现
这里学习的是很老的一篇论文《基于无模型自适应控制的反馈-前馈迭代学习控制系统收敛性研究》，作者是晏静文和侯忠生，大家有兴趣可以找来看看。这里主要介绍的无模型自适应的控制率的matlab代码仿真实现和结果分析。
首先数值给出了问题定义，给出m维输入q维输入的非线性系统：
yn(k+1)=f(un(k),yn)(k),ξ(k),k)y_{n}(k+1)=f(u_{n}(k),y_{n})(k),\xi(k),k) yn(k+1)=f(un(k),yn)(k),ξ(k),k)
两个假设是为了收敛性证明提出的，这里不详细讲（其实收敛性推导我也没推），然后对于该系统设计了前馈和反馈控制律如下：
un(k)=unf(k)+ukb(k)u_{n}(k)=u^{f}_{n}(k)+u^{b}_{k}(k) un(k)=unf(k)+ukb(k)
unf(k)=un−1f(k)+βen−1(k+1)u^{f}_{n}(k)=u^{f}_{n-1}(k)+\beta e_{n-1}(k+1) unf(k)=un−1f(k)+βen−1(k+1)
unb(k)=unb(k−1)+ρ∗ϕn(k)λ+∣ϕn^(k)∣2∗[yd(k+1)−yn(k)]u^{b}_{n}(k)=u^{b}_{n}(k-1)+\frac{\rho *\phi_{n}(k)}{\lambda+|\hat{\phi_{n}}(k)|^{2}}*[y_{d}(k+1)-y_{n}(k)] unb(k)=unb(k−1)+λ+∣ϕn^(k)∣2ρ∗ϕn(k)∗[yd(k+1)−yn(k)]
ϕn^(k)=ϕn^(k−1)+ηΔuk−1bμ+∣Δuk−1b∣2∗[Δyn(k)−ϕ^n(k−1)Δunb(k−1)]\hat{\phi_{n}}(k)=\hat{\phi_{n}}(k-1)+\frac{\eta \Delta u^{b}_{k-1} }{\mu +|\Delta u^{b}_{k-1}|^2}*[\Delta y_{n}(k)-\hat\phi_{n}(k-1)\Delta u^{b}_{n}(k-1)] ϕn^(k)=ϕn^(k−1)+μ+∣Δuk−1b∣2ηΔuk−1b∗[Δyn(k)−ϕ^n(k−1)Δunb(k−1)]
ϕ^n(k)=ϕ^(1)，若ϕ^n(k)≤ϵ或∣Δunb(k−1)≤ϵ∣\hat\phi_{n}(k)=\hat \phi(1)， 若\hat\phi_{n}(k)\leq\epsilon 或|\Delta u^{b}_{n}(k-1)\leq\epsilon| ϕ^n(k)=ϕ^(1)，若ϕ^n(k)≤ϵ或∣Δunb(k−1)≤ϵ∣
终于把公式打完了，latex真麻烦（对于第一次用的人来说）。可以看到控制部分有两部分组成，前馈和反馈，外加伪偏导迭代公式。
仿真系统如下：
期望曲线：
基于控制律和系统编写matlab代码如下：
% 期望轨迹for k = 1:1:500if k < 250yd(k+1) = 0.5*(-1).^(round(k/100));else yd(k+1) = 0.5*sin((k*pi)/100) + 0.3*cos((k*pi)/50);endend% 参数设置epsilon = 0.01;eta = 1;rho = 0.2;lamda = 1;mu = 2;% 控制过程i_n = 60; %迭代次数y(1:i_n,1:500) = 0;for i = 1:1:i_nfor k = 1:1:500if k == 1phi(i,k) = 0.4;elseif k == 2phi(i,k) = phi(i,k-1) + (eta*(ub(i,k-1) - 0)/(mu + norm(ub(i,k-1) - 0)^2))*(y(i,k) - 0 - phi(i,k-1)*(ub(i,k-1) - 0));else phi(i,k) = phi(i,k-1) + (eta*(ub(i,k-1) - ub(i,k-2))/(mu + norm(ub(i,k-1) - ub(i,k-2))^2))*(y(i,k) - y(i,k-1) - phi(i,k-1)*(ub(i,k-1) - ub(i,k-2)));endif i == 1uf(i,k) = 0;else uf(i,k) = uf(i-1,k) + 0.4*e(i-1,k+1);endif k == 1ub(i,k) = 0;else ub(i,k) = ub(i,k-1) + (rho*phi(i,k)/(lamda + norm(phi(i,k))^2))*(yd(k+1) - y(i,k));endif k>2 && (phi(i,k) <= epsilon || (abs(ub(i,k-1) - ub(i,k-2)) <= epsilon))phi(i,k) = phi(i,1);endu(i,k) = uf(i,k) + ub(i,k);%系统函数if k <250 y(i,k+1) = y(i,k)*u(i,k)/(1 + norm(y(i,k))^2) + (u(i,k) + 0.1*round(k/500)*sin(y(i,k)))^3;elsey(i,k+1) = y(i,k)*u(i,k)^3/(1 + norm(y(i,k))^2) + u(i,k)^3;ende(i,k+1) = yd(k+1) - y(i,k+1);endend%误差for i =1:1:i_ne_min(i) = max(abs(e(i,:)));endfigure(1) plot(yd,'r'); hold on;plot(y(i_n,:),'b'); title('µü´ú10´Î');figure(2)plot(e_min);title('error of time k');
代码就是按照控制律来写的，还是自己敲一下印象深刻。
仿真结果：迭代10次结果：
50次迭代：
100次迭代：
100次迭代 最大误差和最下误差收敛结果：
结束。
