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MATLAB中jacobian是用来计算Jacobi矩阵的函数１ 向量的方差与协方差矩阵２ 矩阵协方差矩阵3 关于归一化的问题为区别对待协方差矩阵Hessian矩阵正定矩阵

MATLAB中jacobian是用来计算Jacobi矩阵的函数

syms r l f x=r*cos(l)*cos(f); y=r*cos(l)*sin(f); z=r*sin(l); J=jacobian([x;y;z],[r l f])

结果：

J = [ cos(l)*cos(f), -r*sin(l)*cos(f), -r*cos(l)*sin(f)] [ cos(l)*sin(f), -r*sin(l)*sin(f), r*cos(l)*cos(f)] [ sin(l), r*cos(l), 0 ]

（扩展卡尔曼滤波算法）

１ 向量的方差与协方差矩阵

cov(x)

求向量x的方差。

cov(x)为一个数值，数值大小计算公式为S(x)。

cov(x,y)

求向量x与y的协方差矩阵。

cov(x,y)为2*2矩阵，

[S(x) C(x,y);

C(y,x) S(y);]

２ 矩阵协方差矩阵

cov(X)

求矩阵X的协方差矩阵。

diag(cov(X))得到每一个列向量的方差。

sqrt(diag(cov(X)))得到每一个列的标准差。

若Ｘ大小为MN，则cov(X) 大小为NN的矩阵。

cov(X) 的第(i,j)个元素等于X的第i列向量与第j列向量的方差，即C(Xi,Xj)。

cov(X,Y)

求矩阵X与Y的协方差矩阵。

若X大小为MN，Y为KP，则X，Y的大小必须满足MN=KP，即X，Y的元素个数相同。

此时，cov(X,Y) 等于cov([X(😃 Y(😃])和cov(X(😃,Y(😃)，即计算两个向量的协方差矩阵，得到的结果为2*2矩阵。

[S(X(😃) C(X(😃,Y(😃);

C(Y(😃,X(😃) S(Y(😃);]

可知，S(X) =C(X,X).

3 关于归一化的问题

在上述的S(X),C(X,Y)计算中，采用的归一化参数是1/(N-1) ,其中N是向量中元素的个数。而下面的调用形式采用的归一化参数是1/N。

对应的公式如下图所示。

cov(x,1)

求向量x的方差。计算方法如cov(x)，但归一化参数为1/N。

cov(x,y,1)

求向量x与y的协方差矩阵。计算方法如cov(x,y)，但归一化参数为1/N。

为区别对待

cov(x)又记作cov(x,0)

cov(x,y)又记作cov(x,y,0)

cov(X) 又记作cov(X,0)

cov(X,Y) 又记作cov(x,y,0)

对于归一化参数为1/(N-1)的情况，当N=1时，自动将参数调整为1/N

协方差矩阵

Hessian矩阵

正定矩阵