回归分析是一种统计分析方法，用于研究多个统计量之间的关系，并利用关系进行预测。线性回归模型是最简单的回归分析模型，下面我们应用线性回归来预测票房。
图8-5是计算机模拟生成的500个数据点，每个点表示一部电影，横坐标是预告片搜索量，纵坐标是票房。图8-5称为散点图，是统计分析中最简单、最常用的图，用于对数据的规律做初步观察。观察图8-5可以发现，这些数据点大多分布在一条直线附近，这条直线代表了这些数据的分布规律，线性回归要做的就是根据散点图找到这条直线，这一过程也称为线性拟合。
图8-5首周票房和预告片搜索量的散点图
设拟合直线的方程是y=ax+b，x表示预告片搜索量，y表示首周票房。线性回归的目标是找到最能体现数据特征的直线，也就是说，这条直线需要尽可能地“接近”所有数据。衡量多个点和一条直线之间的“接近程度”，最常用的指标是误差平方和。图8-6是误差平方和的一个示意图，基础数据包含4个点(图中的空心圆圈)，这四个点的X坐标分别对应拟合直线上的四个Y坐标，图中四条虚线的长度的平方和就是误差平方和，使误差平方和最小的那条直线就是最佳拟合直线，这种求解方法也称为最小二乘回归法。
图8-6误差平方和示意图
当误差平方和达到最小值时，可以计算出a和b的值为
至此便计算出了最佳拟合直线的表达式。
在处理线性回归问题时，我们可以把数据代入公式中进行计算，也可以使用统计软件，如Excel、R、SPSS等常用统计软件都有线性回归函数，我们只需要做少量的操作或编码就可以计算出线性回归的结果。
经计算，票房和搜索量的线性回归直线方程是：
y=3.5x+13.6
这条直线代表了票房和搜索量之间的关系，如图8-7所示。我们可以使用这条直线来预测票房，比如，某部即将上映的影片，预告片搜索量是12万次，即x=12，根据直线方程可以计算出y=55.6，因此我们预测这部影片的首周票房是55.6万美元。
图8-7线性回归结果
除了直线方程，我们还可以计算另一个量化指标——相关系数。相关系数可以帮助我们判断两个变量的线性相关关系。此前，我们观察散点图，已经发现票房和搜索量之间近似存在线性相关关系，这只是感性判断，相关系数是对线性相关关系的理性判断。
相关系数r的计算公式为
r=a×Sx/Sy
式中，a是直线方程中的a，Sx表示X的标准差，Sy表示Y的标准差。如图8-8所示，r可以是-1～1的任意数值，其中最特别的三个数值是-1、1和0，含义如下：
r=-1表示y和x存在负相关关系，即a是负数；
r=1表示y和x存在正相关关系，即a是正数；
r=0表示y和x不存在任何线性相关关系，即a=0，不存在拟合直线。
图8-8线性相关系数r的示意图
在实际问题中，r的值大多不会是-1、1或0，但我们可以借助它们的含义来判断线性相关关系。比如，当r=0.9时，我们认为r的值接近1，y和x存在近似的正相关关系；当r=-0.9时，我们认为r的值接近-1，y和x存在近似的负相关关系；当r=0.05时，我们认为r的值接近0，y和x几乎不存在线性相关关系。
至此，我们计算出了线性回归方程和线性相关系数。
