9.如图,在平面直角坐标系中,抛物线 y=ax2 + bx + 4 过点 A(﹣2,0),B(4,0),x 轴上有一动点 P(t,0),过点 P 且垂直于 x 轴的直线与直线 BC 及抛物线分别交于点 D,E,连接 CE,AC.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当点 P 在线段 OB 上运动时(不与点 O,B 重合),若 △CDE 与 △ABC 相似,求 t 的值;
(3)当点 P 在 x 轴上自由运动时,是否存在点 P,使 △CDE 是等腰三角形?若存在,请直接写出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.
【解析】解:
(1)用抛物线交点表达式得:y=a(x+2)(x﹣4)=a(x2﹣2x﹣8),
将点 C(0 , 4)代入表达式可得:﹣8a=4,解得 a=﹣1/2,
故抛物线的表达式为:y=﹣1/2 x2 + x + 4,
(2)由题意得:AB=6,AC=2√5,BC=4√2,
∵ PE∥y 轴,
∴ ∠OCB=∠OBC=∠PDB=∠CDE=45°,
故只存在 △CDE∽△ABC 和 △CDE∽△CBA 两种情况,
OB=OC=4,则直线 BC 的表达式为:y=﹣x + 4,
点 P(t,0),则点 E(t,﹣1/2 t2 + t + 4)、D(t,﹣t+4),CD=xD/sin45°=√2t,
① 当 △CDE∽△ABC 时,
则 CD/AB = ED/CB,
即 √2t / 6 = (﹣1/2 t2 + 2t )/ 4√2,
解得:t=0 或 4/3( 舍去 0 );
② 当 △CDE∽△CBA 时,
则 CD/CB = ED/AB,
即 √2t / 4√2 = (﹣1/2 t2 + 2t )/ 6,
解得:t=0 或 1( 舍去 0 );
故 t=1 或 4/3;
(3)点 P(t,0),则点 E(t,﹣1/2 t2 + t + 4)、D(t,﹣t + 4),
① 当 CD=DE 时,
即:√2t=﹣1/2t2+2t,
解得:t=4-2√2 或 0(舍去 0);
② 当 CD=CE 时,
同理可得:t=0 或 4(全部舍去);
③ 当 DE=CE 时,
同理可得:t=0 或 2(舍去 0);
当点 P 移动到点 B 的右侧时,D,E 的上下位置发生了变化,
同理可得:点 P(4+2√2,0);
故点 P 的坐标为(4-2√2,0)或(2,0)或(4+2√2,0).
【总结】
1、熟练掌握抛物线的三种表达形式;(一般式、交点式、顶点式)
2、熟练掌握相似三角形的判定条件;(两边对应成比例且夹角相等这条非常重要)
3、在图形的运动变化过程中一定要抓住特殊的点或位置,学会用数形结合,分类讨论的数学思想去解决数学问题;
4、两点之间的距离公式一定要会用,知道平面内两个点的坐标求线段长度!