线段求值的方法千千万,建系法也是一种巧妙的方法。
本篇文章介绍今年遵义的中考数学几何压轴题的解法。
本题的图形比较特别,正方形内含等腰直角三角形。此类图形也是中考题中的热点,北京与广东等多地省份中考都考过类似的图形。
【中考真题】
(·遵义)如图,在边长为4的正方形ABCD中,点E为对角线AC上一动点(点E与点A、C不重合),连接DE,作EF⊥DE交射线BA于点F,过点E作MN∥BC分别交CD、AB于点M、N,作射线DF交射线CA于点G.
(1)求证:EF=DE;
(2)当AF=2时,求GE的长.
【分析】
题(1)证明两个线段相等,一般考虑证明全等的方式。
图中发现△DME≌△ENF有可能成立,找条件即可。
所有的角都对应相等,但是缺一条边。本题需要利用点E的特殊位置——对角线上。所以可以得到ME=MC=BN,进而得到MD=NE。结论得证。
当然,还可以构造如下的辅助线,过点E作AC的垂线,交AB的延长线于点H,并连接BH。得到△AEH为等腰直角三角形,进而易得△ADE≌△HFE(AAS)。
当然,要点还是第(2)小题。求的是GE的长度。
已知AF的长度,则可以得到图形是固定的,必然有方法可以求出。
何不直接建系?
选其中的一个顶点为原点,标出A、B、C、D和F的坐标,进而得出直线DF与AC的解析式,联立求出点G的坐标。连接BE,易得BE=FE,进而得NF=NB=1。可以得到点E的坐标。再利用勾股定理即可得出GE的长度。
你以为结束了吗?
本题有陷阱哦!
事出反常必有妖,题目告诉点F在BA及其延长线上,那么点F有没有可能在延长线上呢,画一画就知道了。
此时点F在x轴的负半轴,仍然成立,得BN=FN=3,可以得到点E的另一种可能,然后求出点G和E的坐标之后,再求长度即可。
当然,本题还有一些常规的思路进行求解,例如相似等等。
先求出AG和CG的长度,再求出CE的长度即可。
或者也可以过点E作DF的垂线,求出HE和HG的长度,然后就可以得到GE的长度了。
【答案】(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,AC是对角线,
∴∠ECM=45°,
∵MN∥BC,∠BCM=90°,
∴∠NMC+∠BCM=180°,∠MNB+∠B=180°,
∴∠NMC=90°,∠MNB=90°,
∴∠MEC=∠MCE=45°,∠DME=∠ENF=90°,
∴MC=ME,
∵CD=MN,
∴DM=EN,
∵DE⊥EF,∠EDM+∠DEM=90°,
∴∠DEF=90°,
∴∠DEM+∠FEN=90°,
∴∠EDM=∠FEN,
在△DME和△ENF中
∠EDM=∠FEN,DM=EN,∠DME=∠ENF,
∴△DME≌△ENF(ASA),
∴EF=DE;
(2)如图1所示,由(1)知,△DME≌△ENF,
∴ME=NF,
∵四边形MNBC是矩形,
∴MC=BN,
又∵ME=MC,AB=4,AF=2,
∴BN=MC=NF=1,
∵∠EMC=90°,
∴CE=√2,
∵AF∥CD,
∴△DGC∽△FGA,
∴CD/AF=CG/AG,
∴4/2=CG/AG,
∵AB=BC=4,∠B=90°,
∴AC=4√2,
∵AC=AG+GC,
∴AG=(4√2)/3,CG=(8√2)/3,
∴GE=GC﹣CE=(8√2)/3-√2=(5√2)/3;
如图2所示,
同理可得,FN=BN,
∵AF=2,AB=4,
∴AN=1,
∵AB=BC=4,∠B=90°,
∴AC=4√2,
∵AF∥CD,
∴△GAF∽△GCD,
∴AF/CD=GA/GC,
即2/4=AG/(AG+4√2),
解得,AG=4√2,
∵AN=NE=1,∠ENA=90°,
∴AE=√2,
∴GE=GA+AE=5√2.
【总结】
解题是一定要注意题目中的一些字眼,可能会起到关键作用。
其次,求线段长度,无非就是相似、三角、勾股、等面积及建系等几种常用的方法。
【举一反三】
(•广东)如图,BD是正方形ABCD的对角线,BC=2,边BC在其所在的直线上平移,将通过平移得到的线段记为PQ,连接PA、QD,并过点Q作QO⊥BD,垂足为O,连接OA、OP.
(1)请直接写出线段BC在平移过程中,四边形APQD是什么四边形?
(2)请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系,并加以证明;
(3)在平移变换过程中,设y=S△OPB,BP=x(0≤x≤2),求y与x之间的函数关系式,并求出y的最大值.
【答案】(1)四边形APQD为平行四边形;
(2)OA=OP,OA⊥OP,理由如下:
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=PQ,∠ABO=∠OBQ=45°,
∵OQ⊥BD,
∴∠PQO=45°,
∴∠ABO=∠OBQ=∠PQO=45°,
∴OB=OQ,
在△AOB和△OPQ中,
AB=PQ,∠ABO=∠PQO,BO=QO
∴△AOB≌△POQ(SAS),
∴OA=OP,∠AOB=∠POQ,
∴∠AOP=∠BOQ=90°,
∴OA⊥OP;
(3)如图,过O作OE⊥BC于E.
①如图1,当P点在B点右侧时,
则BQ=x+2,OE=(x+2)/2,
∴y=1/2×(x+2)/2•x,即y=1/4(x+1)²-1/4,
又∵0≤x≤2,
∴当x=2时,y有最大值为2;
②如图2,当P点在B点左侧时,
则BQ=2﹣x,OE=(2-x)/2,
∴y=1/2×(2-x)/2•x,即y=-1/4(x﹣1)²+1/4,
又∵0≤x≤2,
∴当x=1时,y有最大值为1/4;
综上所述,∴当x=2时,y有最大值为2.