3.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C,对称轴为直线 x=2,点 A 的坐标为(1,0).
(1)求该抛物线的表达式及顶点坐标;
(2)点 P 为抛物线上一点(不与点 A 重合),联结 PC.当 ∠PCB=∠ACB 时,求点 P 的坐标;
(3)在(2)的条件下,将抛物线沿平行于 y 轴的方向向下平移,平移后的抛物线的顶点为点 D,点 P 的对应点为点 Q,当 OD⊥DQ 时,求抛物线平移的距离.
【解析】
解:
(1)∵ 对称轴为直线 x=2,点 A 的坐标为(1,0),
∴ 点 B 的坐标是(3,0).
将 A(1,0),B(3,0)分别代入 y=x2+bx+c,得
则该抛物线解析式是:y=x2﹣4x+3.
由 y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1 知,该抛物线顶点坐标是(2,﹣1);
(2)如图1,过点 P 作 PN⊥x 轴于 N,过点 C 作 CM⊥PN,交 NP 的延长线于点 M,
图1
∵ ∠CON=90°,
∴ 四边形 CONM 是矩形.
∴ ∠CMN=90°,CO=MN,
∵ y=x2﹣4x+3,
∴ C(0,3).
∵ B(3,0),
∴ OB=OC=3.
∵ ∠COB=90°,
∴ ∠OCB=∠BCM=45°.
又 ∵ ∠ACB=∠PCB,( 已知条件 )
∴ ∠OCB﹣∠ACB=∠BCM﹣∠PCB,即 ∠OCA=∠PCM.
∴ tan∠OCA=tan∠PCM.
∴ OA/OC = PM/CM = 1/3.
故设 PM=a,MC=3a,PN=3﹣a.
∴ P(3a,3﹣a),
将其代入抛物线解析式 y=x2﹣4x+3,得(3a)2﹣4(3﹣a)+3=3﹣a.
解得 a1=11/9,a2=0(舍去).
∴ P(11/3,16/9).
(3)设抛物线平移的距离为 m,得 y=(x﹣2)2﹣1﹣m.
∴ D(2,﹣1﹣m).
如图2,过点 D 作直线 EF∥x 轴,交 y 轴于点 E,交 PQ 延长线于点 F,
图2
∵ ∠OED=∠QFD=∠ODQ=90°,
∴ ∠EOD+∠ODE=90°,∠ODE+∠QDF=90°.
∴ ∠EOD=∠QDF.
∴ tan∠EOD=tan∠QDF,
∴ DE/OE = QF/DF.
解得 m=1/5.
故抛物线平移的距离为 1/5.
【分析】
(1)通过对称轴 x = 2 , 把 B 点的坐标求出来,代入抛物线一般式解二元一次方程组,求出抛物线的解析式,把一般式化为顶点式从而求出顶点坐标。
熟练掌握中点坐标公式、解二元一次方程组、用配方法把一般式化为顶点式等知识点。
(2)关键是 P 点的位置如何确定,直线与抛物线最多只有两个交点,点 A、点 C 已经在抛物线上了,结合已知条件 ∠PCB=∠ACB,点 P 不可能在直线 AC 上,若在的话就有三个交点了,从而可以确定出 P 点的位置如下图所示。
结合已知条件,通过锐角三角函数,建立线段之间的数量关系,如何建立就是通过函数与方程的数学思想,通过方程知道 P 点的坐标后,代入二次函数解析式,从而求出 P 点的坐标。
设点坐标或线段的长度,一定要注意未知数的个数越少越好,越有利于解题!
(3)在(2)的基础上画出草图,这是一个基本功,一定要动手练,图画出来问题就好解决了。
解题的过程中遇到困难,就要想到 “辅助线” !
∠OED=∠QFD=∠ODQ=90°,想到 “一线三等角” 两边容易出相似三角形,通过线段之间的比例关系,就可以解决问题。
本题还是点的坐标与线段的长度之间的一个转化,类似于第(2)问。