二、思维方式与解题能力
1.什么决定了学生的解题能力？
是什么决定了学生的解题能力？
是知识量的多少？（知识熟悉但不会用的学生很多）
是做题经验的多少？（学生做同样的练习题能力却不一样，因为经验未必上升到理性）
还是智力水平的高低？（智商虽高若不经过专门的学习和训练要想顺利解题也很困难）
抑或是数学思维的完善与否？（数学思维正是解决数学问题的关键）
我们拿猜字谜为例。
字谜1：上不在上，下不在下。天没它大，人有它大。
乍一看是不是一头雾水不明所以？
字谜答案为“一”。
如果你是第一次看到就很快猜出答案，那么说明你以前有猜字谜的经验，了解猜字谜的思维方式。
理解了第一个字谜的猜法，再来猜第二个字谜就很简单了。
字谜2：走在上边，坐在下边。堆在左边，挂在右边。答案是“土”。
字谜3：主动一点。答案是“玉”。
字谜4：几点了。答案是“凡”。
字谜5：给一半，留一半。答案是“细”。
字谜6：边打边谈。答案是“订”。
这几个字谜是不是越猜越简单？
可以看出，当我们了解了猜字谜的思维方式后再来做猜字谜就很简单了，这里我们可以概括一下猜字谜思维的核心方式是“义形结合”，不了解这一点往往仅着眼于字义，就会被干扰迷惑。
解决数学问题也是一样，最重要的是掌握数学的思维方式。
2.不同思维层次的差别
（1）偶然：山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村－低－迷；就像在地面上行走容易迷路。
（2）必然：不畏浮云遮望眼，自缘身在最高层－高－明；站在高处俯瞰就能一目了然。
（3）自然：心似浮云常自在，意如流水任东西－通－透；把所有事物的道理联系贯通。
思维发展的不同阶段代表不同的理性水平：
（1）感性活动阶段：拥有具体经验；
（2）理性认知阶段：掌握一般规律；
（3）知行合一阶段：认知融入行动。
一个人的数学素质的标志不是数学知识的多少，而是数学思维的高度。
学生解题方式也有三种：
（1）点状思维：思路散乱思维混沌－记忆型
（2）线性思维：思路单一思维定势－模仿型
（3）立体思维：思路灵活思维有序－创造型
思维方式决定解题能力！
学生解题常见的缺陷及如何提升：
（1）缺乏方法系统，要形成层次分明，内容完备的方法系统。
（2）缺乏深度理解，要培养多维视角，融会贯通地思考问题。
（3）没有形成习惯，要通过训练固化思维方式，达到自动自然的状态。
只要知识完整，方法完备，思维到位，就可以把解题从偶然事件变成必然事件。
3.高阶思维的特征
高阶思维的三个方面：宽视野，能看到全局，具备思维的广阔性；高视点，能看到本源，具备深刻性；多视角，可以看到变化，具备思维的灵活性。
我们通过例题看高阶思维在解题中的运用。
例1.如图，正方形ABCD中，AF=5，BE=8，∠AFB=2∠BCE，求AE.
看全局：总体看条件分散不易联系，看图中角的关系能想到什么？如何联系？
由图中二倍角关系想到构造等角：
看本源：解题的本质是条件的相互结合产生新模型而得到结果，图中出现了什么模型？哪些条件可以联系应用？
看全局：让我们视野更开阔一些，图中还存在什么角的关系？边的关系？
还能看到：(90°-2x)+x=90°-x，即∠ABF+∠BCE=∠BEC。
△BCE与△ABF的边相等：AB=BC。
看变动：用运动变换的观念看相关图形可以进行运动变换重新组合构造吗？
当我们看到∠ABF+∠BCE=∠BEC及AB=BC后，再用动态思维自然能想到把△BCE与△ABF进行移动拼合，得到等腰三角形中CF"=EF"=13，则由勾股定理得BC=12，于是AE=12-8=4，是不是太简单了！
例2.等边△ABC的边长为6，D是BC的中点，E是AC边上的一点，以DE为边作等边△DEF，若AF=√7，求CE的长．
看全局：△DEF是等边三角形，CE是所求边，思考如何构造含CE边的相关模型。
显然可以发现CE所在的△CDE是一个关键三角形。
看本源：题目已知线段是AF，与CE如何产生联系？
△CDE中有DE=DF，以此为基础想到构造全等三角形，不难想到以D为公共点构造“手拉手”模型。
如上图，截CG=CD得等边△CDG，易证△CDE≌△GDF，得GF=CE，转化为在△AFG中已知AG=3，AF=√7，∠AGF=60°，求GF。这是一个解三角形问题，构造直角三角形即可解决。
看本源：注意，观察△AFG中具备的条件，我们又能看到什么？
本质上，这是一个已知三角形的两边及其中一边的对角，求其它边长的问题。
这样会想到：三角形具备“边边角”的条件时，其形状大小虽确定，但不唯一，因而判定本题应该有两种情况。
看变动：如果把E点看成AC上的动点，那么点F的运动轨迹是什么？
看本源：我们可以看到点F受到两个条件的限制，一是由点E绕点D逆时针旋转60度得到的轨迹是线段GH，二是AF=√7得到点F轨迹是以A为圆心√7为半径的圆，两轨相交得到两个点F，对应两个点E，这就是这个问题有两种情况的本质。
例3.已知⊙O半径为3，点A、B在⊙O上，∠BAC=90°，AB=AC，求OC的最小值.
看全局：A、B、C三个点都是不确定的动点，如何判断点C的轨迹？
如下图，当点B不动，点A在圆上运动时，点C的轨迹是圆；
看本源：为什么运动轨迹是圆？
点的关系与它所在轨迹的关系是一致的，因为点C是由点A绕点B旋转90度所得，所以点C的轨迹也是点A所在的圆O绕点B旋转90度而得的圆。
看变动：如下图，构造手拉手模型可以推得点C到点P距离为定值CP=OA=3，根据圆的定义知点C轨迹为圆P。
换个角度看，当点A不动，点B在圆上运动时，点C的运动轨迹也是圆；
如何推导证明？
同样构造手拉手，如下图，可证CQ=√2OB=3√2，根据圆的定义知点C轨迹是圆Q。
问题转化为定点O到圆上点的最短路径问题，OC的最小值是3√2－3.
让我们来想像一下更为一般的情况，当A、B点都在圆O上运动呢？C点相应形成了什么样的轨迹？
如下图，点C的轨迹是一个圆环区域。
怎么得到这个圆环，我们把相应的轨迹圆进行运动，就得到点C的轨迹，如下图红色区域。
同样把另一个轨迹圆绕点O运动，也可以得到点C所在轨迹圆环。
这样我们看到了最全面最本质的东西，即当点A、B遍历圆O的所有位置时，点C随之形成的轨迹是圆环，OC的最小值即为点O到圆环区域的最小距离和最大距离。
4.思维方法的作用
（1）概括一般规律，把握宏观方向；
（2）归纳操作程序，掌握细节技巧；
（3）快速识别模式，有序解决问题；
（4）形成能力素质，学会灵活应变。
思维方法不是针对个别问题，是用于解决一类问题的一般规律或规则。
先要诸法归一：从具体问题中抽象概括出一般规律，再应用此规律建立数学模型解决具体问题，这就是一以贯之。
朱熹的《活水亭观书有感》可以描述这种意境。
其一：
半亩方塘一鉴开，天光云影共徘徊，
问渠哪得清如许，为有源头活水来。
什么是源头活水？这是指掌握了道理、规律，才能拥有活力创造力。
其二：
昨夜江边春水生，艨艟巨舰一毛轻，
向来枉费推移力，此日中流自在行。
巨舰为什么能自在行驶？因为它借助了大水的力量，也就是应用了事物的运行规律。
思维方法为解决问题提供了源头活水，帮助学生灵活高效地解决问题。
我们总结的思维方法要具有普适性、精准性和高效性，例如我总结的一种常用方法“轨迹定位法”，基本模型包括四种直线型轨迹，两种圆弧型轨迹。
这种方法适用于求未知点的位置、范围或最值，优点是直观清晰有迹可循，简单准确一步到位。特别是解决分类讨论型的问题不用担心考虑不周导致漏解。
我们用具体例题来验证。
例1.（绍兴填空压轴题）如图，∠AOB=45°，点M、N在边OA上，OM=x，ON=x+4，点P是OB上的点，若使点P、M、N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是 ．
我们确定点P的轨迹是如下“两圆一线”，运动是相对的，我们可以移动OB的位置，观察什么时候射线OB与两圆一线仅有三个公共点即可。
显然，OB在如下图两条绿线之间时，与红线有三个公共点，符合题意（相切到O点在圆的交点处）。
继续向上平移OB，当OB与上圆相切时，恰好有三个公共点，如下图：
再到OB过M点时，射线OB与红色线恰好有三个公共点（点M除外）：
解决此题时，我们画出点P所在轨迹线，问题就变得简单直观，容易解决。
例2.（南京填空压轴题）在△ABC中，AB=4，∠C=60°，∠A＞∠B，则BC的长的取值范围是 ．
由“AB=4，∠C=60°”知点C在以AB为弦的圆弧上，画出图形如下，∠A＞∠B时点C在弧AM上运动，易得点C在点M处取得BC的最小值，BC为直径时取得最大值。
例3.（河南倒二压轴题）在△ABC中，CA=CB，∠ACB=α．点P是平面
内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到
线段DP，连接AD，BD，CP．
（3）解决问题
当α=90°时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写
出点C，P，D在同一直线上时AD:CP的值．
本题的难点是如何准确画出图形及分类不漏解。
当C、P、D共线时∠APC=90°，所以点P一定在以AC为直径的圆上，点P还在直线EF上，如下图，作圆与EF交于两点即为所求P点位置，
根据P点作出D点，如下图，问题变得很简单。
例4.（天津倒二压轴题）在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（0，0），点A（5，0），点B（0，3）.以点A为中心，顺时针旋转矩形 AOBC，得到矩形ADEF ，点 O，B ，C 的对应点分别为 D，E ，F.
（4）记K为矩形AOBC 对角线的交点，S为△KDE 的面积,求S的取值范围(直接写出结果).
本题中△KDE的底DE不变，求点K到DE的距离范围即可。考虑到矩形ADEF绕点A旋转情况比较复杂，根据运动的相对性，可以看成矩形ADEF不动，点K绕A点旋转，问题是等价的。
如下图，以A为圆心AK为半径作圆，问题转化为圆上的点到直线DE的最大路径和最小路径，过圆心作DE的垂线与圆A交于两点即得高的最大值和最小值。
例5.（潍坊选择压轴题）抛物线y=x^2+bx+3的对称轴为直线x=1．若关于x的一元二次方程x^2+bx+3﹣t=0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是
A．2≤t＜11 B．t≥2 C．6＜t＜11 D．2≤t＜6
x^2+bx+3﹣t=0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根转化为图形即：抛物线y=x^2+bx+3与直线y=t在﹣1＜x＜4段有公共点，画出图形如下：
观察图形易知红色线与蓝色线有公共点时，直线y=t的运动轨迹为图中黄色区域，即得t的取值范围是2≤t＜11。
