知识点1：有理数的有关概念
有理数：整数和分数统称为有理数。
注：(1)有时为了研究的需要，整数也可以看作是分母为1的数，这时的分数包括整数。但是本讲中的分数不包括分母是1的分数。(2)因为分数与有限小数和无限循环小数可以互化，上述小数都可以用分数来表示，所以我们把有限小数和无限循环小数都看作分数。(3)“0”即不是正数，也不是负数，但“0”是整数。
整数包括正整数、零、负整数。例如：1、2、3、0、－1、－2、－3等等。
分数包括正分数和负分数，例如：1/2、0.6、－1/2、－0.6等等。
知识点2：有理数的分类
(1)按整数、分数的关系分类：
(2)按正数、负数与0的关系分类：
注：通常把正数和0统称为非负数，负数和0统称为非正数，正整数和0称为非负整数（也叫做自然数），负整数和0统称为非正整数。
如果用字母表示数，则a>0表明a是正数；a<0表明a是负数；a≥0表明a是非负数；a≤0表明a是非正数。
知识点3：数轴
数轴是理解有理数概念与运算的重要工具，数与表示数的图形（如数轴）相结合的思想是学习数学的重要思想。正如华罗庚教授诗云：
数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数缺形时少直觉，形少数是难入微。数形结合百般好，隔裂分家万事非。切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！
数与形的第一次联姻——数轴，使数与直线上的点之间建立了对应关系，揭示了数与形的内在联系，并由此成为数形结合的基础。
1.数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
数轴的定义包含三层含义：(1)数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；(2)数轴有三要素——原点、正方向、单位长度，三者缺一不可；(3)原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据实际需要“规定”的（通常取向右为正方向）。
2.数轴的画法：(1)画一条直线（一般画成水平的直线）。(2)在直线上选取一点为原点，并用这点表示零（在原点下面标上“0”）。(3)确定正方向（一般规定向右为正），用箭头表示出来。(4)选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示为1，2，3……；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次表示为－1，－2，－3……
注：(1)原点的位置、单位长度的大小可根据实际情况适当选取；(2)确定单位长度时，根据实际情况，有时也可以每隔两个(或更多的)单位长度取一点，从原点向右，依次表示为2，4，6，……；从原点向左，依次表示为－2，－4，－6，……；
3.数轴上的点与有理数的关系：所有的有理数都可以用数轴上的点表示。正有理数可以用原点右边的点表示，负有理数可以用原点左边的点表示，零用原点表示。
4.利用数轴比较有理数的大小：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数。
知识点4：相反数
1.相反数的定义：(1)相反数的几何定义：在数轴上原点的两旁，到原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数。如，4与－4互为相反数。
(2)相反数的代数定义：只有符号不同的两个数（除了符号不同以外完全相同），我们说其中一个是另一个的相反数。
2.相反数的性质：任何一个数都有相反数，而且只有一个。正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0。0是唯一一个相反数等于本身的数。反之，如果a=-a，那么a一定是0。
3.相反数的特征：若a与b互为相反数，则a+b=0（或a=-b）若a+b=0（或a=-b），则a与b互为相反数。
4.求一个数的相反数的方法：（见书）
5.多重符号的化简：(1)在一个数的前面添上一个“＋”号，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5。(2)在一个数的前面添上一个“－”号，就成为原数的相反数。如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3。
知识点5：绝对值的概念
1.绝对值的几何定义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离，数a的绝对值记作“丨a丨”
2.绝对值的代数定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
知识点6：有理数大小的比较
正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。
利用数轴，在数轴右边的数永远大于左边的数。
1.2有理数同步练习题
1.2.1有理数分类
一、选择题
1.在,-1,0,-3.2这四个数中,属于负分数的是()
A. B.-1 C.0 D.-3.2
答案D根据小于0的分数是负分数,可得-3.2是负分数,故选D.
2.给出下列说法:①0是整数;②-2是负分数;③4.2不是正数;④自然数一定是正数;⑤负分数一定是负有理数,其中正确的说法有()
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案C①正确;②正确;③4.2是大于0的数,因此是正数,错误;④自然数包括0和正整数,0不是正数,错误;⑤负有理数包括负整数和负分数,正确,故正确的说法有3个.
3.下列说法中,正确的是()
A.正数、负数统称为有理数
B.小数-6.18不是分数
C.正整数和负整数统称为整数
D.整数和分数统称为有理数
答案D
A.正有理数、0、负有理数统称为有理数,故本选项错误;
B.小数-6.18是分数,故本选项错误;
C.正整数、负整数和0统称为整数,故本选项错误;
D.整数和分数统称为有理数,故本选项正确,故选D.
4.下列说法中,正确的是()
A.非负有理数就是正有理数
B.零表示没有,不是自然数
C.正整数和负整数统称为整数
D.正有理数、0、负有理数统称为有理数
答案DA项,非负有理数包括正有理数和零;B项,零除了表示没有外,还可以表示特定的意义,如0 ℃,0是自然数;C项,整数包括正整数、零和负整数;D项正确.故选D.
5.在π,-2,0.3,-,0.101 001000 1这五个数中,有理数的个数是()
A.1 B.2 C.3 D.4
答案D在π,-2,0.3,-,0.101 001 000 1这五个数中,有理数为-2,0.3,-,0.101 001 000 1,共4个.故选D.
6.下列说法中,不正确的是()
A.-3.14既是负数、分数,也是有理数
B.0既不是正数,也不是负数,但是整数
C.-2 018既是负数,也是整数,但不是有理数
D.0是非正数
答案C-2 018是负整数,同时也是有理数,C错误.
二、填空题
7.下列各数:-5,0,-1,,-2.41,0.2,-5%,其中负分数是.
答案-1,-2.41,-5%
解析0是整数,2 017是正整数,0.2是正分数,-5是负整数,-1,-2.41,-5%是负分数.
8.-8,2 006,3,0,-5,+13,-,-7.2中,正整数和负分数共有个.
答案4
解析正整数有2 006,+13,共2个;负分数有-,-7.2,共2个,所以正整数和负分数一共有4个.
9.根据规律,写出后面的三个数:2,4,-6,8,10,-12,， ， 。
答案14;16;-18
解析从数字上看,是连续的偶数;从符号上看,每三个数一循环,其中,前两个数的符号是正的,第三个数的符号是负的.
三、解答题
10.将下列各数填入相应集合中:
7,-9.25,-,-301,,-3.5,0,2,5,-7,1.25,-,-3,-.
正整数集合{…};
正分数集合{…};
负整数集合{…};
负分数集合{…};
正数集合{…};
负数集合{…}.
解析正整数集合{7,2,…};
正分数集合;
负整数集合{-301,-7,-3,…};
负分数集合{-9.25,-,-3.5,-,-,…};
正数集合{7,,2,5,1.25,…};
负数集合{-9.25,-,-301,-3.5,-7,-,-3,-,…}.
1.2.2数轴
一、选择题
1.下列数轴画法正确的是()
答案CA.没有单位长度,故A错误;B.没有正方向,故B错误;C.原点、单位长度、正方向都符合,故C正确;D.原点左边的数字位置不对,应是从左到右由小到大排列,故D错误,故选C.
2.如图,在数轴上点A表示的数最可能是()
A.-2 B.-2.5 C.-3.5 D.-2.9
答案B由题图知数轴上点A在-3与-2的正中间, ∴A、C、D三选项错误,B选项正确.故选B.
3.在数轴上,到表示3的点的距离为5个单位长度的点表示的正数是()
A.-2 B.8 C.-2或8 D.5
答案B如图,在数轴上,到表示3的点的距离为5个单位长度的点有两个(A和B),
点A表示的数为-2,点B表示的数为8,8为正数,故选B.
4.文具店、书店和玩具店依次坐落在一条南北走向的大街上,文具店在书店北边20米处,玩具店位于书店南边100米处.小花从书店沿街向南走了40米,接着又向南走了-60米,此时小花在()
A.文具店 B.玩具店 C.文具店北边40米 D.玩具店南边-60米
答案A将这条南北大街看作数轴,以向南为正,向北为负,书店的位置为原点,在数轴上按照题意标出文具店、书店和玩具店的位置,即可得出结论.
二、填空题
5.在数轴上,表示-5的点在原点的边,它到原点的距离是个单位长度.
6.在数轴上,表示+2的点在原点的边,距原点个单位长度;表示-7的点在原点的边,距原点个单位长度;这两点之间的距离为个单位长度.
答案右;2;左;7;9
解析+2比0大,因此表示+2的点在原点右边;-7比0小,因此表示-7的点在原点左边,求数轴上两点间的距离一般借助数轴直观地解决.
7.在数轴上,把表示3的点沿着数轴向负方向移动5个单位长度,则移动后的点表示的数是.
答案-2
解析在数轴上,把表示3的点沿着数轴向负方向移动5个单位长度,则移动后的点表示的数是-2.
8.小红在写作业时,不慎将一滴墨水滴在数轴上,根据图中的数据,可确定被墨迹遮盖住的整数共有个.
答案3
解析∵-和2之间的整数有-1、0、1,
∴被墨迹遮盖住的整数共有3个.
三、解答题
9.画一个数轴,把-3,,0,-,2在数轴上表示出来.
点拨(1)先观察这列数据,这列数据中最小的数是-3,最大的数是2,因此我们画数轴时,原点左边的刻度线只需画到-3即可,原点右边的刻度线只需画到2即可.
(2)根据画数轴的方法,画出数轴,刻度线用小短线表示,刻度标在相应刻度线的下方.
(3)在数轴上找出表示-3,,0,-,2这些数的点,并用实心小圆点在数轴上标出,然后把表示的数写在对应点的上方.
10.根据下面给出的数轴,解答下面的问题:
(1)请你根据图中A、B两点的位置,分别写出它们所表示的有理数A:,B:;
(2)观察数轴,求与点A的距离为4的点表示的数.
解析(1)1;-2.5.
(2)与点A距离为4的点有两个,一个在点A的左边,一个在点A的右边,左边的点表示的数是-3;右边的点表示的数是5.
故与点A的距离为4的点表示的数是-3或5.
1.2.3相反数
一、选择题
1.的相反数是()
A.9102 B.- C. D.
答案B只有符号不同的两个数叫做互为相反数,其中一个数叫做另一个数的相反数.所以的相反数是-,故选B.
2.下列说法正确的是()
A.-3是相反数 B.2是-的相反数 C.-与互为相反数 D.-a与a互为相反数
答案DA项,单独的一个数不能称为相反数;B项,2是-2的相反数;C项,-与互为相反数;D正确.
3.下列说法错误的是()
A.如果两个数互为相反数,那么它们的相反数也互为相反数
B.在任何一个数前面添加一个负号,就变成原数的相反数
C.+与-2.2互为相反数
D.-与0.1互为相反数
答案D-与互为相反数,而≠0.1,所以D项错误.
4.下列各对数中,相等的是()
A.-和-0.75 B.+(-0.2)和-
C.-和-(-0.01) D.-和-
答案BA.-==0.75≠-0.75,故本选项不符合题意;B.+(-0.2)=-0.2,-=-=-0.2,故本选项符合题意;C.-=-=-0.01,-(-0.01)=0.01,故本选项不符合题意;D.-=3,-=-3,故本选项不符合题意.故选B.
5.下列各组数中,互为相反数的是()
A.-1与(-1)2 B.(-1)2与1
C.2与D.2与-(-2)
答案AA.(-1)2=1,1与-1互为相反数;B.(-1)2=1,故(-1)2与1不互为相反数;C.2与互为倒数,不互为相反数;D.-(-2)=2,故2与-(-2)不互为相反数,故选A.
二、填空题
6.如图所示,数轴上点A所表示的数的相反数是.
答案2
解析数轴上点A所表示的数是-2,-2的相反数是2.
7.-2和它的相反数之间的整数有个.
答案5
解析-2和它的相反数2之间的整数有-2,-1,0,1,2,共5个.
8.若a=+2.3,则-a=;若a=-,则-a=;若-a=1,则a=;若-a=-21,则a=;若a=-a,则a=.
答案-2.3;;-1;21;0
9.化简:
-(+6)=;-(-1.8)=;-[+(-3)]=;-[-(-2)]=
答案-6;1.8;3;-2
解析化简多重符号的时候要看“-”的个数,当“-”的个数为偶数时,符号为正;当“-”的个数为奇数时,符号为负.
10.已知m,n互为相反数,则3+m+n=.
答案3
解析∵m,n互为相反数,∴m+n=0,∴3+m+n=3+0=3.
三、解答题
11.写出下列各数的相反数,并在数轴上把所写的相反数表示出来:
+2,-3,0,-(-1),-3,-(+4).
解析+2,-3,0,-(-1),-3,-(+4)的相反数分别是-2,3,0,-1,3,4.如图.
12.(1)如果一个数是-10,它的相反数是a,那么a-10的相反数是多少?
(2)已知-[-(+x)]=8,求x的相反数.
解析(1)a=-(-10)=10,a-10=10-10=0,因为0的相反数是0,所以a-10的相反数是0.
(2)因为-[-(+x)]=x,且-[-(+x)]=8,所以x=8,又因为8的相反数是-8,所以x的相反数是-8.
1.2.4绝对值
一、选择题
1.-的绝对值是()
A.± B.- C.
答案C根据绝对值的定义可得-的绝对值是,故选C.
2.下列各式不正确的是()
A.|-2|=2 B.-2=-|-2|
C.-(-2)=|-2| D.-|2|=|-2|
答案DA.|-2|=2,正确;B.-2=-|-2|,正确;C.-(-2)=2=|-2|,正确;D.-|2|=-2,|-2|=2,-2≠2,错误,故选D.
3.数轴上有A、B、C、D四个点,其中所表示的数的绝对值等于2的点是()
A.点A B.点B C.点C D.点D
答案A∵绝对值等于2的数是-2和2,这四个点中,只有点A表示的数为-2,
∴所表示的数的绝对值等于2的点是点A.故选A.
4.下列有理数大小关系判断正确的是()
A.->- B.0>|-10|
C.|-3|<|+3| D.-1>-0.01
答案A先化简再比较大小即可.
5.如果|-2a|=-2a,则a的取值范围是()
A.a>0 B.a≥0 C.a≤0 D.a<0
答案C由于-2a的绝对值等于其本身,因此-2a是非负数,即-2a≥0,可得a≤0.
二、填空题
6.若|a|=|-8|,则a=.
答案±8
解析由已知得|a|=8,则a=±8.
7.若|-x|=4,则x=;若|x-3|=0,则x=;若|x-3|=1,则x=.
答案±4;3;4或2
8.计算|3.14-π|-π的结果是.
答案-3.14
解析|3.14-π|-π=π-3.14-π=-3.14.
9.若|x-3|=0,则|x+2|=,|2-x|=.
答案5;1
解析由|x-3|=0,得x-3=0,所以x=3,所以|x+2|=5,|2-x|=1.
10.已知有理数a在数轴上的位置如图,则a+|a-1|=.
答案1
解析由数轴上a的位置可知a<0,
∴a-1<0,
∴原式=a+1-a=1.
11.有理数a、b、c在数轴上的位置如图:
请用“>”或“<”填空:b-c0, a+b0,c-a0.
答案<;<;>
解析由题图可知,a<0,b>0,c>0,且|b|<|a|<|c|,所以b-c<0,a+b<0,c-a>0.
三、解答题
12.画一条数轴,在数轴上表示出下面的有理数,然后把它们用“<”连接起来:
-2,1.5,0,-3,.
解析先画出数轴,再把这些数所对应的点在数轴上标出,然后根据这些数在数轴上的位置,得出它们的大小关系.
如图.
-3<-2<0<1.5<.
▍声明：内容转自网络，如有侵权请联系删除
