问题补充:
解答题已知函数f(x)=lnx-x2+x+2
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若a>0,求f(x)在区间(0,a]上的最大值;
(III)设函数g(x)=x3-(1+2e)x2+(m+1)x+2,(m∈R),试讨论函数f(x)与g(x)图象交点的个数.
答案:
解:(Ⅰ)∵f(x)=lnx-x2+x+2,其定义域为(0,+∞).(1分)
∴.(2分)
∵x>0,∴当0<x<1时,f′(x)>0;当x>1时,f′(x)<0.
故函数f(x)的单调递增区间是(0,1);单调递减区间是(1,+∞).(4分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,函数f(x)的单调递增区间是(0,1);单调递减区间是(1,+∞).
当0<a≤1时,f(x)在区间(0,a]上单调递增,f(x)的最大值f(x)max=f(a)=lna-a2+a+2;
当a>1时,f(x)在区间(0,1)上单调递增,在(1,a)上单调递减,则f(x)在x=1处取得极大值,也即该函数在(0,a]上的最大值,此时f(x)的最大值f(x)max=f(1)=2;
∴f(x)在区间(0,a]上的最大值…(8分)
(Ⅲ)讨论函数f(x)与g(x)图象交点的个数,即讨论方程f(x)=g(x)在(0,+∞)上根的个数.
该方程为lnx-x2+x+2=x3-(1+2e)x2+(m+1)x+2,即lnx=x3-2ex2+mx.
只需讨论方程在(0,+∞)上根的个数,…(9分)
令u(x)=(x>0),v(x)=x2-2ex+m.
因u(x)=(x>0),u′(x)=,令u′(x)=0,得x=e,
当x>e时,u′(x)<0;当0<x<e时,u′(x)>0,∴u(x)max=u(e)=,
当x→0+时,u(x)=→-∞;?当x→+∞时,→0,但此时u(x)>0,且以x轴为渐近线.
如图构造u(x)=的图象,并作出函数v(x)=x2-2ex+m的图象.
①当m-e2>,即m>时,方程无根,没有公共点;
②当,即时,方程只有一个根,有一个公共点;
③当,即时,方程有两个根,有两个公共点.…(12分)解析分析:(Ⅰ)确定函数的定义域,求导函数,利用导数的正负,可得函数的单调区间;(Ⅱ)由(Ⅰ)知,函数f(x)的单调递增区间是(0,1);单调递减区间是(1,+∞),对a分类讨论,确定函数的单调性,从而可得函数在区间(0,a]上的最大值;(Ⅲ)讨论函数f(x)与g(x)图象交点的个数,即讨论方程f(x)=g(x)在(0,+∞)上根的个数,该方程为lnx-x2+x+2=x3-(1+2e)x2+(m+1)x+2,即lnx=x3-2ex2+mx,只需讨论方程在(0,+∞)上根的个数.点评:本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性与最值,考查函数图象的交点,考查数形结合的数学思想,综合性强,难度大.