问题补充:
解答题f(x)=lg(ax-bx)(a>1>b>0)
(1)求f(x)的定义域;
(2)问是否存在实数a、b,当x∈(1,+∞)时,f(x)的值恰取到一切正数,且f(2)=lg2?若存在,求出a、b的值,若不存在,说明理由.
答案:
解:(1)由ax-bx>0 (a>1>b>0)得?>1,
故? >1,∴x>0,∴f(x)的定义域为(0,+∞).
(2)令 g(x)=ax-bx ,又a>1>b>0,∴g(x)=ax-bx ,在(0,+∞)上为增函数.
当x∈(1,+∞)时,f(x)的值取到一切正数等价于x∈(1,+∞)时,g(x)>1,
故g(1)=1,∴a-b=1,①又 f(2)=lg2,∴a2-b2=2,②
由①②得 a=,b=.解析分析:(1)由对数的真数大于零得,ax-bx>0,再由a>1>b>0和指数函数的性质,求出不等式解集即函数的定义域.(2)令 g(x)=ax-bx ,由题意可得g(1)=1,f(2)=lg2,解方程组求得a、b的值.点评:本题主要考查求对数函数的定义域,函数的单调性的判断和证明,属于基础题.