解答题已知函数f（x）=+lnx（Ⅰ）若函数f（x）在[1 +∞）上为增函数 求正实数

问题补充：

解答题已知函数f（x）=+lnx

（Ⅰ）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求正实数a的取值范围；

（Ⅱ）设a＞1，b＞0，求证：＜ln＜．

答案：

（Ⅰ）解：，a＞0，

因为函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，所以对x∈[1，+∞）恒成立，

即：ax-1≥0对x∈[1，+∞）恒成立，亦即对x∈[1，+∞）恒成立，

，即a≥1．

故正实数a的取值范围是[1，+∞）．

（Ⅱ）证明：一方面，由（1）知，在[1，+∞）上是增函数，

所以，即，即．

另一方面，设函数g（x）=x-lnx（x＞1），g′（x）=1-=＞0（x＞1），

所以g（x）在（1，+∞）上是增函数，

又g（1）=1＞0，当x＞1时，g（x）＞g（1）＞0，所以x＞lnx，则ln＜．

综上，＜ln＜．解析分析：（Ⅰ）求出f′（x），函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，则有f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，进而可转化为函数的最值问题解决；（Ⅱ）根据f（x）在[1，+∞）上为增函数，可得f＞f（1），从而可证明；构造函数g（x）=x-lnx（x＞1），易判g（x）在（1，+∞）上是增函数，可得x＞1时g（x）＞g（1），由此可证明ln＜．点评：本题考查导数与函数单调性的关系以及应用导数证明不等式问题．f′（x）≥0（不恒为0）是可导函数f（x）在某区间上递增的充要条件．