问题补充:
解答题已知函数f(x)=x2-2lnx
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)求证:f(x)≥lnx-x+2.
答案:
解:(Ⅰ)由题意知x>0,f′(x)=2x-=,令f′(x)=0,得x=-1(舍)或x=1,
当0<x<1时,f′(x)<0,当x>1时,f′(x)>0,
所以f(x)的增区间为(1,+∞),减区间为(0,1).
(Ⅱ)令g(x)=f(x)-(lnx-x+2)=x2-3lnx+x-2,
g′(x)=2x-+1==,
令g′(x)>0,得x>1,令g′(x)<0,得0<x<1,
所以g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
所以g(x)min=g(1)=0,
所以g(x)≥0,即f(x)≥lnx-x+2.解析分析:(Ⅰ)求出f′(x),在定义域内解不等式f′(x)>0,f′(x)<0,即得f(x)的单调区间;(Ⅱ)构造函数g(x)=f(x)-(lnx-x+2)=x2-3lnx+x-2,问题转化为g(x)min≥0,从而转化为函数最值问题求解.点评:本题考查应用导数研究函数的单调性、最值问题,考查分析问题解决问题的能力,考查转化思想.