已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+a2（a＞0）的单调递减区间是（1 2） 且满足f（0）=1．（

问题补充：

已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+a2（a＞0）的单调递减区间是（1，2），且满足f（0）=1．

（1）求f（x）的解析式；

（2）对任意m∈（0，2]，关于x的不等式f（x）＜m3-mlnm-mt+3在x∈[2，+∞）?上有解，求实数t的取值范围．

答案：

解：（1）由已知得，f′（x）=3ax2+2bx+c，

∵函数f（x）=ax3+bx2+cx+a2的单调递减区间是（1，2），

∴由f′（x）＜0，得1＜x＜2，

∴f′（x）=3ax2+2bx+c=0的两个根分别是1和2，且a＞0，

从f（0）=a2=1且?a＞0可得a=1，

又，解得，

∴f（x）=x3-x2+6x+1．

（2）由（1）得，f′（x）=3x2-9x+6=3（x-1）（x-2），

当x∈[2，+∞）时，f′（x）≥0，所以f（x）在[2，+∞）上是增函数，

对x∈[2，+∞），当x=2时，f（x）min=f（2）=3，

要使f（x）＜m3-mlnm-mt+3在x∈[2，+∞）上有解，

只需fmin（x）＜m3-mlnm-mt+3，即3＜m3-mlnm-mt+3对任意m∈（0，2]恒成立，

也即mt＜m3-mlnm对任意m∈（0，2]恒成立，即t＜m2-lnm对任意m∈（0，2]恒成立，

设h（m）=m2-lnm，m∈（0，2]，则t＜h（m）min，

h′（m）=m-==，令h′（m）=0，得m=1或m=-1（舍），

当m∈（0，2]时，h′（m）与h（m）的变化情况如下表：

m（0，1）1（1，2）2h′（m）-0+h（m）↘极小值↗2-ln2∴m=1时，h（m）min=h（m）极小值=，

所以t＜，即实数t的取值范围为t＜．

解析分析：（1）由题意可知f（x）＜0的解集为（1，2），即f（x）=0的两根为1，2，利用韦达定理以及f（0）=1，建立方程组，解之即可求出函数f（x）的解析式；（2）对任意m∈（0，2]，不等式f（x）＜m3-mlnm-mt+3在x∈[2，+∞）?上有解，等价于fmin（x）＜m3-mlnm-mt+3对任意m∈（0，2]恒成立，再分离参数转化求函数最值问题即可．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的最值求解、不等式恒成立等问题，考查运算求解能力，考查方程思想、化归与转化思想，综合性强，难度大．

已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+a2（a＞0）的单调递减区间是（1 2） 且满足f（0）=1．（1）求f（x）的解析式；（2）对任意m∈（0 2] 关于x的不