已知函数f（x）=x3+bx2+cx+1在区间（-∞ -2]上单调递增 在区间上单调递减 若b是非

问题补充：

已知函数f（x）=x3+bx2+cx+1在区间（-∞，-2]上单调递增，在区间上单调递减，若b是非负整数

（1）求f（x）的表达式；

（2）设0＜m≤2，若对任意的t1，t2∈[m-2，m]，不等式|f（t1）-f（t2）|≤16m恒成立，求实数m的最小值．

答案：

解：（1）求导函数可得f′（x）=3x2+2bx+c

∵函数f（x）在区间（-∞，-2]上单调递增，在区间上单调递减，

∴f′（-2）=12-4b+c=0，即c=4b-12…（3分）

∵，∴28b-21≤0，∴

∵b是非负整数，∴b=0，…（6分）

从而c=12，所以f（x）=x3-12x+1…（8分）

（2）求导数f′（x）=3（x+2）（x-2），则f（x）在[-2，2]上单调递减，在[2，+∞）上单调递增

∵0＜m≤2，∴-2＜m-2≤0，∴f（x）在[m-2，m]上单调递减

∴[f（x）]max=f（m-2），[f（x）]min=f（m）…（12分）

依题意[f（x）]max-[f（x）]min≤16m，即3m2+2m-8≥0

∴m≤-2或m≥

∵0＜m≤2，∴

∴m的最小值为…（16分）

解析分析：（1）求导函数，利用函数f（x）在区间（-∞，-2]上单调递增，在区间上单调递减，可得f′（-2）=0，，结合b是非负整数，可得f（x）的表达式；（2）若对任意的t1，t2∈[m-2，m]，不等式|f（t1）-f（t2）|≤16m恒成立，等价于[f（x）]max-[f（x）]min≤16m，求出函数的最值，即可确定m的取值范围，从而可得m的最小值．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查恒成立问题，正确运用函数的单调性是关键．

已知函数f（x）=x3+bx2+cx+1在区间（-∞ -2]上单调递增 在区间上单调递减 若b是非负整数（1）求f（x）的表达式；（2）设0＜m≤2 若对任意的t1