解答题已知函数f（x）=x2 对任意实数t gt（x）=-tx+1．（1）求函数y=g

问题补充：

解答题已知函数f（x）=x2，对任意实数t，gt（x）=-tx+1．

（1）求函数y=g3（x）-f（x）的单调区间；

（2）在（0，2]上是单调递减的，求实数t的取值范围；

（3）若f（x）＜mg2（x）对任意恒成立，求正数m的取值范围．

答案：

解：（1）y=g3（x）-f（x）=…（1分）

所以函数y的单调递增区间是，单调递减区间是．…（3分）

（2）由已知得，，…（4分）

设0＜x1＜x2≤2，

则=…（6分）

要使h（x）在（0，2]上是单调递减的，必须h（x1）-h（x2）＞0恒成立．???…（7分）

因为x2-x1＞0，0＜x1x2＜4，

所以1-tx1x2＞0恒成立，即恒成立，…（8分）[

因为，所以，

所以实数t的取值范围是．…（9分）

（3）解法一：由f（x）＜mg2（x），得x2＜m（-2x+1），①…（10分）

因为m＞0且，所以①式可化为，②…（11分）

要使②式对任意恒成立，只需，（12分）

因为，所以当时，函数取得最小值3，…（12分）

所以，又m＞0，所以，

故正数m的取值范围是．…（13分）

解法二：由f（x）＜mg2（x），得x2+2mx-m＜0，…（10分）

令f（x）=x2+2mx-m，则f（x）＜0对任意恒成立，…（11分）

只需，即，解得，…（12分）

故正数m的取值范围是．?????????????????????????????…（13分）解析分析：（1）利用配方法求函数y=g3（x）-f（x）的单调区间；（2）由已知得，，利用单调性的定义，可知要使h（x）在（0，2]上是单调递减的，必须h（x1）-h（x2）＞0恒成立，从而只需1-tx1x2＞0恒成立，即恒成立，故可求实数t的取值范围；（3）解法一：由f（x）＜mg2（x），得x2＜m（-2x+1），分离参数可得，从而问题转化为，，利用配方法可求函数的最小值3，故可求正数m的取值范围；解法二：由f（x）＜mg2（x），得x2+2mx-m＜0．构造f（x）=x2+2mx-m，则f（x）＜0对任意恒成立，只需，即，从而可求正数m的取值范围．点评：本题考查的重点是求参数的范围问题，考查恒成立问题，考查函数的单调区间，解题的关键是利用分离参数法，进而求函数的最值．