问题补充:
在直角坐标系中,抛物线与x轴交于A,B两点,已知点A在x轴的负半轴上,点B在x轴的正半轴上,且BO=2AO,点C为抛物线的顶点.
(1)求此抛物线的解析式和经过B,C两点的直线的解析式;
(2)点P在此抛物线的对称轴上,且⊙P与x轴、直线BC都相切.求点P的坐标.
答案:
解:(1)设A点的坐标为(-a,0),则B点的坐标为(2a,0),其中a>0.
由题意得一元二次方程,
那么?2m2-5m-12=0,
解得m=(不合题意舍去),
m=4,则a=2,
∴此抛物线的解析式为,
B点的坐标为(4,0)、C点的坐标为(1,-4),
∴经过B,C两点的直线的解析式为y-0=,
即;
(2)∵点P在此抛物线的对称轴上,故设P点的坐标为(1,k),
设⊙P与x轴、直线BC分别相切于点N、M,连接PB、PM,
在△PBC中,BC===5,
,
即PM=,
∵PM、NP均为圆P的半径,
∴|k|=,
解得k=6(不合题意舍去),k=,
∴P点的坐标为.
解析分析:(1)根据抛物线与x轴交于A,B两点,且A在x轴的负半轴上,点B在x轴的正半轴上,且BO=2AO.故设A点的坐标为(-a,0),则B点的坐标为(2a,0),其中a>0.令y=0,那么抛物线的解析式就变成关于x的一元二次方程的解,两个解分别是-a、2a.利用根与系数的关系写出,解得a、m的值.抛物线解析式确定,并写出顶点式,C点的坐标值即可确定.根据两点B、C的坐标值,求出直线BC的解析式.
(2)首先根据点P在此抛物线的对称轴上,故设P点的坐标为(1,k).利用三角形的面积公式与观察图形,求得PM的值,根据NP=PM求得P点的坐标值.
点评:本题是二次函数的综合题型,其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法.在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果.
在直角坐标系中 抛物线与x轴交于A B两点 已知点A在x轴的负半轴上 点B在x轴的正半轴上 且BO=2AO 点C为抛物线的顶点.(1)求此抛物线的解析式和经过B C两