问题补充:
如图,已知AB是⊙O的直径,直线l与⊙O相切于点C且,弦CD交AB于E,BF⊥l,垂足为F,BF交⊙O于G.
(1)求证:CE2=FG?FB;
(2)若tan∠CBF=,AE=3,求⊙O的直径.
答案:
(1)证明:连接AC;
∵AB为直径,
∴∠ACB=90°.
∵,且AB是直径;
∴AB⊥CD;
即CE是Rt△ABC的高;
∴∠A=∠ECB,∠ACE=∠EBC;
∵CF是⊙O的切线,
∴∠FCB=∠A,CF2=FG?FB;
∴∠FCB=∠ECB;
∵∠BFC=∠CEB=90°,CB=CB,
∴△BCF≌△BCE;
∴CE=CF,∠FBC=∠CBE;
∴CE2=FG?FB.
(2)解:∵∠CBF=∠CBE,∠CBE=∠ACE,
∴∠ACE=∠CBF;
∴tan∠CBF=tan∠ACE=;
∵AE=3,
∴CE=6;
在Rt△ABC中,CE是高,
∴CE2=AE?EB,即62=3EB,
∴EB=12;
∴⊙O的直径为:12+3=15.
解析分析:(1)由切割线定理知:CF2=FG?FB,欲证本题的结论,需先证得CE=CF;可通过证△BCE≌△BCF得出.
(2)欲求⊙O的直径,已知AE的长,关键是求出BE的长度;在Rt△ABC中,CE⊥AB,根据射影定理得到CE2=AE?EB,由此可求出BE的长.
点评:命题立意:此题综合运用了圆周角的性质、垂径定理、切割线定理、三角形全等、解直角三角形等知识.
点评:此题综合性较强,采用层层深入的方法进行逐一解答.
如图 已知AB是⊙O的直径 直线l与⊙O相切于点C且 弦CD交AB于E BF⊥l 垂足为F BF交⊙O于G.(1)求证:CE2=FG?FB;(2)若tan∠CBF=