问题补充:
如图,已知AB是⊙O的直径,直线l与⊙O相切于点C,,CD交AB于E,BF⊥l,垂足为F,BF交⊙O于G.
(1)图中哪条线段与AE相等?试证明你的结论.
(2)若tan∠CBF=,AE=3,求⊙O的直径.
答案:
解:(1)AE=GF.
证明:连接AC、CG,
∵AB是直径,
∴∠ACB=90°,
又∵BF⊥l,
∴∠ACB=∠CFB,
∵l是⊙O的切线,
∴∠FCB=∠A,
∴∠ABC=∠CBF,
∵,AB是⊙O的直径,
∴CD⊥AB,
又∵BF⊥l,∠ABC=∠CBF,
∴∠CEB=∠CFB=90°,
∴△CEB≌△CFB,
∴CE=CF,
由圆内接四边形的性质可知∠A+∠CGB=180°,
又∠CGF+∠CGB=180°,
∴∠A=∠CGF,
∴△GFC≌△AEC,
∴AE=GF;
(2)∵∠CBF=∠CBA=∠FCG=∠ACE,tan∠CBF=,
∴tan∠ACE=,
又∵AE=3,
∴CE=6,
∵AB是⊙O的直径,CD⊥AB,
∴CE2=AE?BE,
∴BE=12,
∴AB=15,
即⊙O的直径为15.
解析分析:(1)AE=GF.连接AC、CG,由于AB是直径,可知∠ACB=90°,再利用l是切线可知∠FCB=∠A,而∠BFC=∠ACB=90°,
易得∠ABC=∠CBF,又弧AC=弧AD,AB是直径,利用垂径定理的推论可知AB⊥CD,而BF⊥l,∠ABC=∠CBF,那么∠CEB=∠CFB=90°,利用AAS可证△CEB≌△CFB,那么CE=CF,利用圆内接四边形性质可知∠A=∠CGF,且∠AEC=∠GFC=90°,利用AAS可证△GFC≌△AEC,于是AE=GF;
(2)根据(1)以及弦切角定理可知∠CBF=∠CBA=∠FCG=∠ACE,而tan∠CBF=1/2,那么tan∠ACE=1/2,在△ACE中易求CE,再利用垂径定理可知CE2=AE?BE,易求BE,从而可求AB.
点评:本题考查了切线性质、全等三角形的判定和性质、垂径定理、弦切角定理.解题的关键是连接AC、CG,以及垂径定理的运用.
如图 已知AB是⊙O的直径 直线l与⊙O相切于点C CD交AB于E BF⊥l 垂足为F BF交⊙O于G.(1)图中哪条线段与AE相等?试证明你的结论.(2)若tan