已知函数y=f（x）的图象关于y轴对称 且满足f（x-2）=ax2-（a-3）x+（a-2）．（Ⅰ）求

问题补充：

已知函数y=f（x）的图象关于y轴对称，且满足f（x-2）=ax2-（a-3）x+（a-2）．

（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；

（Ⅱ）g（x）=f[f（x）]，F（x）=pg（x）+f（x），问是否存在p（p＜0）使F（x）在区间（-∞，-3]上是减函数，且在区间（-3，0）内是增函数？试证明你的结论．

答案：

解：（Ⅰ）令x-2=t，则x=t+2．

由于f（x-2）=ax2-（a-3）x+（a-2），

所以f（t）=a（t+2）2-（a-3）（t+2）+（a-2）

=at2+3（a+1）t+（3a+4）

∴f（x）=ax2+3（a+1）x+（3a+4）

∵y=f（x）的图象关于y轴对称

∴a≠0且3（a+1）=0，即a=-1

故f（x）=-x2+1

（Ⅱ）g（x）=f[f（x）]=-（-x2+1）2+1

=-x4+2x2F（x）=pg（x）+f（x）=-px4+（2p-1）x2+1

设存在p（p＜0），使F（x）满足题目要求，

则当-∞＜x1＜x2≤-3时，

F（x）是减函数，即F（x1）-F（x2）

=（x12-x22）[2p-1-p（x12+x22）]＞0

由假设-x1＞-x2≥3＞0，∴x12＞x22＞9

∴2p-1-p（x12+x22）＞0 ①

又p＜0，x12+x22＞18∴-p（x12+x22）＞-18p

∴2p-1-p（x12+x22）＞2p-1-18p=-16p-1

要使①式恒成立，只须-16p-1≥0即p≤

又当-3＜x1＜x2＜0时，F（x）是增函数，

即F（x1）-F（x2）＜0，也就是2p-1-p（x12+x22）＜0 ②

此时0＜-x2＜-x1＜3．x12+x22＜18-p（x12+x22）＜-18p，

2p-1-p（x12+x22）＜-16p-1

要使②式恒成立，只须-16p-1≤0即p≥

故存在p=满足题目要求．

另解：依题意F（-3）是F（x）的极小值，∴F′（-3）=0．

∵F（x）=-4px3+2（2p-1）x，∴-4p（-3）3+2（2p-1）（-3）=0，

即．当p=时，

，

∴当x＜-3时，F（x）＜0，F（x）在（-∞，-3]上是减函数；

当x∈（-3，0）时，F（x）是增函数．

故存在满足题目要求．

解析分析：（1）令x-2=t由整体换元的方法求函数f（x）的解析式．

（2）先根据（1）表示出F（x）的解析式，然后假设存在p使得满足条件，由减函数的定义或由减函数对应的导数小于0求出p的值．

点评：本题主要考查求函数解析式和根据函数单调性求值的问题．求函数的解析式时一般用换元法、凑配法、方程法等．函数的单调性经常与函数的导数值的正负联系起来，即当导数大于0时函数单调递增，当导数小于0时函数单调递减．

已知函数y=f（x）的图象关于y轴对称 且满足f（x-2）=ax2-（a-3）x+（a-2）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）g（x）=f[f（x）] F（x）=