问题补充:
如图,四边形ABCD内接于半圆O,AB为直径,过点D的切线交BC的延长线于点E.若BE⊥DE,AD+DC=40,⊙O的半径为,求BC的长及tan∠CDB的值.
答案:
解:连接AC,
∵AB为直径,BE⊥DE,
∴∠ADB=∠ACB=∠E=90°,
∴DE∥AC,
∴∠EDC=∠DCA,
∵ED切圆O于点D,
∴∠EDC=∠DAC,
∴∠DCA=∠DAC,
∴AD=DC,
∵AD+DC=40,
∴AD=DC=20,
∵圆O的半径为,AB为直径,
∴AB=,
∵四边形ABCD内接于半圆O,
∴∠DCE=∠DAB,
又∵∠E=∠ADB=90°,
∴△CDE∽△ABD,
∴===,
∴CE=AD=×20=12,
∴DE===16,
∵DE是切线,ECB是割线,
∴ED2=EC?EB,
∴EB===,
∴BC=BE-CE=,
∴AC===32,
∴tan∠CAB===,
∵∠CDB=∠CAB,
∴tan∠CDB=tan∠CAB=,
则BC=,tan∠CDB=.
解析分析:连接AC,由AB为直径,利用直径所对的圆周角为直角得到一对直角相等,再由BE垂直于DE得到∠E为直角,进而得到一对同位角相等,利用同位角相等两直线平行得到DE与AC平行,利用两直线平行内错角相等得到一对角相等,再利用弦切角等于夹弧所对的圆周角,等量代换及等角对等边得到AD=DC,由AD+DC=40求出AD=DC=20,由圆四边形的外角等于它的内对角得到一对角相等,再由一对直角相等得到三角形DEC与三角形ABD相似,由AD,DC,AB的长求出CE的长,根据勾股定理求出DE的长,再利用切割线定理求出EB的长,由EB-EC即可求出BC的长,根据同弧所对的圆周角相等得到∠CDB=∠CAB,在直角三角形ABC中,利用锐角三角函数定义求出tan∠CAB的值,即为tan∠CDB的值.
点评:此题考查了切线的性质,勾股定理,圆周角定理,以及相似三角形的判定与性质,熟练掌握切线的性质是解本题的关键.
如图 四边形ABCD内接于半圆O AB为直径 过点D的切线交BC的延长线于点E.若BE⊥DE AD+DC=40 ⊙O的半径为 求BC的长及tan∠CDB的值.