问题补充:
如图,一次函数y=x-5分别交x轴、y轴于A、B两点,二次函数y=-x2+bx+c的图象经过A、B两点.
(1)求二次函数的解析式;
(2)设D、E是线段AB上异于A、B的两个动点(E点位于D点上方),DE=.
①若点D的横坐标为t,用含t的代数式表示D、E的坐标;
②抛物线上是否存在点F,使点F与点D关于x轴对称,如果存在,请求出△AEF的面积;如果不存在,请说明理由.
答案:
解:(1)由题意可得A(5,0)B(0,-5)
代入解析式y=-x2+bx+c
解得,
∴解析式为:y=-x2+6x-5.
(2)①作DQ∥y轴EQ⊥DQ
∵OA=5,OB=5
∴△OAB为等腰直角三角形
△DEQ∽△BAO
∵△DQE为等腰直角三角形
∴DE=,
∴DQ=EQ=1
∴D(t,t-5)
E(t+1,t-4)
②∵F与D关于x轴对称
∴F(t,5-t)代入抛物线解析式
得5-t=-t2+6t-5
解得t1=2? t2=5
∵D、E异于A、B两点
∴t=5舍去
∴t=2,
∴F(2,3),D (2,-3),E (3,-2),
∴AE=2,EF=,AF=3,
∴AE2+AF2=EF2,
∴∠EAF=90°,
∴S△AEF=2×3×=6.
解析分析:(1)先根据直线的解析式求出A,B两点的坐标,然后用待定系数法求出抛物线的解析式.
(2)可先根据OA,OB的比例关系,求出D,E两点的纵坐标差与横坐标差的比例关系,然后根据DE的长求出这两个差值.进而可表示出D,E两点的坐标.然后可根据F,D关于y轴对称,表示出F点的坐标,已知F点在抛物线上,可据此求出t的值,即可求出D,E两点的坐标.进而可求出三角形AEF的面积.
点评:本题主要考查二次函数解析式的确定、图形的面积求法、函数图象交点、相似三角形等知识及综合应用知识、解决问题的能力.
如图 一次函数y=x-5分别交x轴 y轴于A B两点 二次函数y=-x2+bx+c的图象经过A B两点.(1)求二次函数的解析式;(2)设D E是线段AB上异于A B