问题补充:
如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=CD=2cm,BC=4cm,点P、Q分别从A、C两点出发,点P沿射线AB、点Q沿BC的延长线均以1cm/s的速度作匀速直线运动.
(1)求∠B的度数;
(2)若P、Q同时出发,当AP的长为何值时,S△PCQ是S梯形ABCD的一半?
(3)设PQ交直线CD于点E,作PF⊥CD于F,若Q点比P点先出发2秒,请问EF的长是否改变?证明你的结论.
答案:
解:(1)过A点作AG⊥BC,垂足为G,
∵梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=CD=2cm,
∴梯形ABCD是等腰梯形,
∴BG=1,
∴cosB==,
∴∠B=60°;
(2)在Rt△AGB中,
AG=,
∴S梯形ABCD=(AD+BC)×AG=3,
设经过时间t(t≤2)后,S△PCQ是S梯形ABCD的一半,
CQ=t,△CPD的高h=(2-t)×,
∴S△PCQ=CQ?h=t?(2-t)×,
当S△PCQ是S梯形ABCD的一半时,
t?(2-t)×=,
解得t不存在,
当t>2时,
P点在AB的延长线上,
△CPD的高h=(t-2)×,CQ=t,
当S△PCQ是S梯形ABCD的一半时,
t?(t-2)×=,
解得t=1+s;
(3)设BC中点为H,连接AH,DH,
作辅助线PX∥BC交CD于Y,交AH为X,
显然三角形APX是正三角形,AP=PX;
AYXD是平行四边形,AD=XY.
由于PY∥BC,很容易得出△PYE∽△CQE,
又Q点比P点先出发2秒,均以1cm/s的速度作匀速直线运动,
就是说CQ比AP长2cm,
CQ=2+AP,
同时PX=XY+PX=AD+AP=2+AP,
∴CQ=PY,
∴PYE与CQE全等,YE=EC,
∵PY∥BC而梯形ABCD是底角为60度的等腰梯形,
∠FYP=60°,
∴FY=PY?cos60°=PY=(PX+XY)=(AP+2)=AP+1
∵PY∥BC,所以APXD也是底角为60°的等腰梯形AP=DX,且AP:PB=DX:XC,而XE=EC,
∴YE=(DC-DY)=(2-DY)=(2-AP)=1-AP,
FE=FY+YD=AP+1+1-AP=2,
故EF的长度不变.
解析分析:(1)过A点作AG⊥BC,垂足为G,首先根据题干条件证明梯形ABCD是等腰梯形,然后在Rt△AFB中求出cosB的值,于是求出∠B的大小.
(2)首先求出AF的长和梯形ABCD的面积,再分类讨论,①当0<t≤2时,CQ=t,△CPD的高h=(2-t)×,求出三角形PCQ的面积,最后列示求出t的值,②t>2时,CQ=t,△CPD的高h=(t-2)×,求出三角形PCQ的面积,最后列示求出t的值,
(3)设BC中点为H,连接AH,DH,作辅助线PX‖BC交CD于X,交AH为Y,根据条件证明△PXE∽△CQE,利用等腰梯形的性质求出PX和XE的长,利用FE=FX+XD即可证明EF是定值.
点评:本题主要考查等腰梯形的性质和全等三角形的判定与性质的知识点,解答本题的关键是熟练掌握等腰梯形的性质和等边三角形的性质,此题有一定的难度.
如图 梯形ABCD中 AD∥BC AD=AB=CD=2cm BC=4cm 点P Q分别从A C两点出发 点P沿射线AB 点Q沿BC的延长线均以1cm/s的速度作匀速直