问题补充:
n阶矩阵A,A^k=0,证E-A可逆,用特征值法证明.
答案:
先证A的特征值只有0;
反证法:假设A有一个特征值t不等于0;
那么,根据特征向量的定义,存在X不等于0,
AX=tX;
又A^K=0
则0=(A^k)X=A^(k-1)(tX)=tA^(k-1)X=……=(t^k)X
又t不等于0,t^k不等于0,所以X=0,
与X不等于0矛盾.
所以,A的特征值只有0.
所以1不是特征值.
所以|E-A|不等于0;
所以E-A可逆.
时间:2019-09-17 13:24:51
n阶矩阵A,A^k=0,证E-A可逆,用特征值法证明.
先证A的特征值只有0;
反证法:假设A有一个特征值t不等于0;
那么,根据特征向量的定义,存在X不等于0,
AX=tX;
又A^K=0
则0=(A^k)X=A^(k-1)(tX)=tA^(k-1)X=……=(t^k)X
又t不等于0,t^k不等于0,所以X=0,
与X不等于0矛盾.
所以,A的特征值只有0.
所以1不是特征值.
所以|E-A|不等于0;
所以E-A可逆.
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