原题：计算三重积分 其中积分区域D是由yoz面上的曲线 y^2=2z 绕z轴旋转而成的曲面与平面z=

问题补充：

原题：计算三重积分,其中积分区域D是由yoz面上的曲线 y^2=2z 绕z轴旋转而成的曲面与平面z=5所围成的闭区域.

答案：

先求旋转曲面的方程

设旋转曲面上一点是（x0,y0）,yoz面上的曲线 为y^2=2z ,则

√(x0^2+y0^2)=y

得旋转曲面的方程为：z=(x^2+y^2)/2

z=(x^2+y^2)/2=5得

Dxy:x^2+y^2≤10

所以∫∫∫(x^2+y^2)dv

=∫∫dσxy∫((x^2+y^2)/2~5)x^2+y^2 dz

=∫∫(5-(x^2+y^2)/2)*(x^2+y^2) dσxy

化为极坐标计算

∫(0~2π)dθ∫(0~√10)r*(5-r^2/2)*r^2 dr

=2π*(125/3)

=250π/3