1. 引言

有向无环图（Directed Acyclic Graph, DAG）是有向图的一种，字面意思的理解就是图中没有环。常常被用来表示事件之间的驱动依赖关系，管理任务之间的调度。拓扑排序是对DAG的顶点进行排序，使得对每一条有向边(u, v)，均有u（在排序记录中）比v先出现。亦可理解为对某点v而言，只有当v的所有源点均出现了，v才能出现。

下图给出有向无环图的拓扑排序：

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下图给出的顶点排序不是拓扑排序，因为顶点D的邻接点E比其先出现：

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2. 算法原理与实现

拓扑排序的实现算法有两种：入度表、DFS，其时间复杂度均为O(V+E)O(V+E)。

入度表

对于DAG的拓扑排序，显而易见的办法：

找出图中0入度的顶点；依次在图中删除这些顶点，删除后再找出0入度的顶点；然后再删除……再找出……直至删除所有顶点，即完成拓扑排序

为了保存0入度的顶点，我们采用数据结构栈（亦可用队列）；算法的可视化可参看这里。

图用邻接表（adjacency list）表示，用数组inDegreeArray[]记录结点的入度变化情况。C实现：

// get in-degree arrayint *getInDegree(Graph *g) {int *inDegreeArray = (int *) malloc(g->V * sizeof(int));memset(inDegreeArray, 0, g->V * sizeof(int));int i;AdjListNode *pCrawl;for(i = 0; i < g->V; i++) {pCrawl = g->array[i].head;while(pCrawl) {inDegreeArray[pCrawl->dest]++;pCrawl = pCrawl->next;}}return inDegreeArray;}// topological sort functionvoid topologicalSort(Graph *g) {int *inDegreeArray = getInDegree(g);Stack *zeroInDegree = initStack();int i;for(i = 0; i < g->V; i++) {if(inDegreeArray[i] == 0)push(i, zeroInDegree);}printf("topological sorted order\n");AdjListNode *pCrawl;while(!isEmpty(zeroInDegree)) {i = pop(zeroInDegree);printf("vertex %d\n", i);pCrawl = g->array[i].head;while(pCrawl) {inDegreeArray[pCrawl->dest]--;if(inDegreeArray[pCrawl->dest] == 0)push(pCrawl->dest, zeroInDegree);pCrawl = pCrawl->next;}}}

时间复杂度：得到inDegreeArray[]数组的复杂度为O(V+E)O(V+E)；顶点进栈出栈，其复杂度为O(V)O(V)；删除顶点后将邻接点的入度减1，其复杂度为O(E)O(E)；整个算法的复杂度为O(V+E)O(V+E)。

DFS

在DFS中，依次打印所遍历到的顶点；而在拓扑排序时，顶点必须比其邻接点先出现。在下图中，顶点5比顶点0先出现，顶点4比顶点1先出现。

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在DFS实现拓扑排序时，用栈来保存拓扑排序的顶点序列；并且保证在某顶点入栈前，其所有邻接点已入栈。DFS版拓扑排序的可视化参看这里。

C实现：

/* recursive DFS function to traverse the graph,* the graph is represented by adjacency list*/void dfs(int u, Graph *g, int *visit, Stack *s) {visit[u] = 1;AdjListNode *pCrawl = g->array[u].head;while(pCrawl) {if(!visit[pCrawl->dest])dfs(pCrawl->dest, g, visit, s);pCrawl = pCrawl->next;}push(u, s);}// the topological sort functionvoid topologicalSort(Graph *g) {int *visit = (int *) malloc(g->V * sizeof(int));memset(visit, 0, g->V * sizeof(int));Stack *s = initStack();int i;for(i = 0; i < g->V; i++) {if(!visit[i]) dfs(i, g, visit, s);}// the order of stack element is the sorted orderwhile(!isEmpty(s)) {printf("vertex %d\n", pop(s));}}

时间复杂度：应与DFS相同，为O(V+E)O(V+E)。

完整代码在Github。