能量 功率 能量谱密度 功率谱密度 自相关函数_Matlab

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能量信号的Parseval定理周期性功率信号的Parseval定理能量信号的自相关函数功率信号的自相关函数举例序列的能量和功率Matlab验证

能量信号的Parseval定理

∫ − ∞ ∞ ∣ x ( t ) ∣ 2 d t = ∫ − ∞ ∞ ∣ X ( f ) ∣ 2 d f \int_{- \infty }^{ \infty} | x( t ) | ^2 dt = \int_{- \infty }^{ \infty} | X ( f ) | ^2 df ∫−∞∞​∣x(t)∣2dt=∫−∞∞​∣X(f)∣2df

若 x ( t ) x(t) x(t)为实函数，则上式可写为

∫ − ∞ ∞ x ( t ) 2 d t = ∫ − ∞ ∞ ∣ X ( f ) ∣ 2 d f \int_{- \infty }^{ \infty} x( t ) ^2 dt = \int_{- \infty }^{ \infty} | X ( f ) | ^2 df ∫−∞∞​x(t)2dt=∫−∞∞​∣X(f)∣2df

该定理表明一个实信号的平方的积分，或一个复信号振幅平方的积分（或 x ( t ) x ∗ ( t ) x(t)x^*(t) x(t)x∗(t)）,等于信号的能量。

信号频率密度的模的平方 ∣ X ( f ) ∣ 2 |X(f)|^2 ∣X(f)∣2对 f f f的积分也等于信号能量，故称 ∣ X ( f ) ∣ 2 |X(f)|^2 ∣X(f)∣2为信号的能量谱密度。

周期性功率信号的Parseval定理

设 x ( t ) x(t) x(t)周期性实功率信号，周期等于 T 0 T_0 T0​，基频为 f 0 = 1 / T 0 f_0=1/T_0 f0​=1/T0​，则其傅里叶级数展开式为

x ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ C n e j 2 π n f 0 t x(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_n e^{j2\pi n f_0t} x(t)=n=−∞∑∞​Cn​ej2πnf0​t

其平均功率可以写为

1 T 0 ∫ − T 0 / 2 T 0 / 2 x ( t ) 2 d t = ∑ n = − ∞ ∞ ∣ C n ∣ 2 \frac{1}{T_0} \int_{-T_0/2}^{T_0/2} x(t)^2dt = \sum _{n=-\infty}^{\infty}|C_n|^2 T0​1​∫−T0​/2T0​/2​x(t)2dt=n=−∞∑∞​∣Cn​∣2

上式表示周期性功率信号的平均功率等于其频谱的模的平方和。

能量信号的自相关函数

自相关函数 R ( τ ) R(\tau) R(τ)反映了一个信号与延迟 τ \tau τ后的同一信号的相关程度。

能量信号 s ( t ) s(t) s(t)的自相关函数的定义为

R ( τ ) = ∫ − ∞ ∞ s ( t ) s ( t + τ ) d t ， − ∞ < τ < ∞ R(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty}s(t)s(t+\tau)dt，-\infty<\tau<\infty R(τ)=∫−∞∞​s(t)s(t+τ)dt，−∞<τ<∞

当 τ = 0 \tau=0 τ=0时，能量信号的自相关函数 R ( 0 ) R(0) R(0)等于信号的能量，即

R ( 0 ) = ∫ − ∞ ∞ s ( t ) 2 d t = E R(0) = \int_{-\infty}^{\infty}s(t)^2dt=E R(0)=∫−∞∞​s(t)2dt=E

能量信号的自相关函数的傅里叶变换就是其能量谱密度。

∣ S ( f ) ∣ 2 = ∫ − ∞ ∞ R ( τ ) e − j 2 π f τ d τ |S(f)|^2=\int_{-\infty}^{\infty}R(\tau) e^{-j2\pi f \tau} d\tau ∣S(f)∣2=∫−∞∞​R(τ)e−j2πfτdτ

即， R ( τ ) R(\tau) R(τ)和 ∣ S ( f ) ∣ 2 |S(f)|^2 ∣S(f)∣2构成一对傅里叶变换，其中 S ( f ) = ∫ − ∞ ∞ s ( t ) e − j 2 π f t d t S(f)=\int_{-\infty}^{\infty}s(t) e^{-j2\pi f t} dt S(f)=∫−∞∞​s(t)e−j2πftdt

功率信号的自相关函数

功率信号 s ( t ) s(t) s(t)的自相关函数的定义为

R ( τ ) = lim ⁡ T → ∞ 1 T ∫ − T / 2 T / 2 s ( t ) s ( t + τ ) d t ， − ∞ < τ < ∞ R(\tau) = \lim_{T \to \infty } \frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}s(t)s(t+\tau)dt，-\infty<\tau<\infty R(τ)=T→∞lim​T1​∫−T/2T/2​s(t)s(t+τ)dt，−∞<τ<∞

当 τ = 0 \tau=0 τ=0时，功率信号的自相关函数 R ( 0 ) R(0) R(0)等于信号的平均功率，即

R ( 0 ) = lim ⁡ T → ∞ 1 T ∫ − T / 2 T / 2 s ( t ) 2 d t = P R(0) = \lim_{T \to \infty } \frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}s(t)^2dt=P R(0)=T→∞lim​T1​∫−T/2T/2​s(t)2dt=P

功率信号的自相关函数的傅里叶变换就是其功率谱密度。

P ( f ) = ∫ − ∞ ∞ R ( τ ) e − j 2 π f τ d τ P(f)=\int_{-\infty}^{\infty}R(\tau) e^{-j2\pi f \tau} d\tau P(f)=∫−∞∞​R(τ)e−j2πfτdτ

即， R ( τ ) R(\tau) R(τ)和 P ( f ) P(f) P(f)构成一对傅里叶变换，

其中 P ( f ) = lim ⁡ T → ∞ 1 T ∣ S T ( f ) ∣ 2 P(f)=\lim _{T \to \infty } \frac{1}{T}|S_T(f)|^2 P(f)=T→∞lim​T1​∣ST​(f)∣2

举例

求余弦信号 s ( t ) = A c o s ( ω 0 t + θ ) s(t) = Acos(\omega_0 t + \theta) s(t)=Acos(ω0​t+θ)的自相关函数、功率谱密度、平均功率。

R ( τ ) = 1 T 0 ∫ − T 0 / 2 T 0 / 2 s ( t ) s ( t + τ ) d t = 1 T 0 ∫ − T 0 / 2 T 0 / 2 A 2 cos ⁡ ( ω 0 t + θ ) cos ⁡ [ ω 0 ( t + τ ) + θ ] d t R(\tau)=\frac{1}{T_{0}} \int_{-T_{0} / 2}^{T_{0} / 2} s(t) s(t+\tau) \mathrm{d} t=\frac{1}{T_{0}} \int_{-T_{0} / 2}^{T_{0} / 2} A^{2} \cos \left(\omega_{0} t+\theta\right) \cos \left[\omega_{0}(t+\tau)+\theta\right] \mathrm{d} t R(τ)=T0​1​∫−T0​/2T0​/2​s(t)s(t+τ)dt=T0​1​∫−T0​/2T0​/2​A2cos(ω0​t+θ)cos[ω0​(t+τ)+θ]dt

R ( τ ) = A 2 2 cos ⁡ ω 0 τ ⋅ 1 T 0 ∫ − T 0 / 2 T 0 / 2 d t + A 2 2 1 T 0 ∫ − T 0 / 2 T 0 / 2 cos ⁡ ( 2 ω 0 t + ω 0 τ + 2 θ ) d t = A 2 2 c o s ω τ R(\tau)=\frac{A^{2}}{2} \cos \omega_{0} \tau \cdot \frac{1}{T_{0}} \int_{-T_{0} / 2}^{T_{0} / 2} \mathrm{~d} t+\frac{A^{2}}{2} \frac{1}{T_{0}} \int_{-T_{0} / 2}^{T_{0} / 2} \cos \left(2 \omega_{0} t+\omega_{0} \tau+2 \theta\right) \mathrm{d} t = \frac{A^2}{2}cos\omega \tau R(τ)=2A2​cosω0​τ⋅T0​1​∫−T0​/2T0​/2​dt+2A2​T0​1​∫−T0​/2T0​/2​cos(2ω0​t+ω0​τ+2θ)dt=2A2​cosωτ

对上式作傅里叶变换，得功率谱密度

P ( ω ) = A 2 2 π [ δ ( ω − ω 0 ) + δ ( ω + ω 0 ) ] P(\omega)=\frac{A^{2}}{2} \pi\left[\delta\left(\omega-\omega_{0}\right)+\delta\left(\omega+\omega_{0}\right)\right] P(ω)=2A2​π[δ(ω−ω0​)+δ(ω+ω0​)]

由 δ ( ω ) = δ ( 2 π f ) = 1 2 π δ ( f ) \delta(\omega)=\delta(2 \pi f)=\frac{1}{2 \pi} \delta(f) δ(ω)=δ(2πf)=2π1​δ(f)，得

P ( f ) = A 2 4 [ δ ( f − f 0 ) + δ ( f + f 0 ) ] P(f)=\frac{A^{2}}{4}\left[\delta\left(f-f_{0}\right)+\delta\left(f+f_{0}\right)\right] P(f)=4A2​[δ(f−f0​)+δ(f+f0​)]

功率谱密度对频率的积分，得平均功率

P = ∫ − ∞ ∞ P ( f ) d f = R ( 0 ) = A 2 2 P = \int_{-\infty}^{\infty}P(f)df=R(0)=\frac{A^2}{2} P=∫−∞∞​P(f)df=R(0)=2A2​

序列的能量和功率

Parseval定理的拓展

∫ − ∞ ∞ x ( t ) 2 d t = ∫ − ∞ ∞ ∣ X ( f ) ∣ 2 d f \int_{- \infty }^{ \infty} x( t) ^2 dt = \int_{- \infty }^{ \infty} | X( f) | ^2 df ∫−∞∞​x(t)2dt=∫−∞∞​∣X(f)∣2df

∑ n = − ∞ ∞ x ( n ) 2 = 1 2 π ∫ − π π ∣ X ( e j ω ) ∣ 2 d ω \sum_{n=-\infty}^{\infty } x(n)^2 = \frac{1}{2\pi} \int _{-\pi}^{\pi}|X(e^{j\omega})|^2 d\omega n=−∞∑∞​x(n)2=2π1​∫−ππ​∣X(ejω)∣2dω

∑ n = 0 N − 1 x ( n ) 2 = 1 N ∑ k = 0 N − 1 ∣ X ( k ) ∣ 2 \sum_{n=0}^{N-1} x(n)^2=\frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1}|X(k)|^2 n=0∑N−1​x(n)2=N1​k=0∑N−1​∣X(k)∣2

其中， X ( e j ω ) = D T F T [ x ( n ) ] X(e^{j\omega})=DTFT[x(n)] X(ejω)=DTFT[x(n)]， X ( k ) = D F T [ x ( n ) ] X(k)=DFT[x(n)] X(k)=DFT[x(n)]，后者是前者在频率区间 [ 0 , 2 π ] [0,2\pi] [0,2π]上的 N N N点等间隔采样。

离散序列的能量等于序列各点的平方求和。

考虑一个有限长实信号x(t)，其采样序列为 x ( n ) x(n) x(n)，采样周期为 T s T_s Ts​，序列长度为 N N N，则 N ∗ T s = t 2 − t 1 N*T_s = t_2-t_1 N∗Ts​=t2​−t1​

P = 1 t 2 − t 1 ∫ t 1 t 2 x ( t ) 2 d t = ∑ n = 0 N − 1 T s ∗ x ( n ) 2 t 2 − t 1 = ∑ n = 0 N − 1 x ( n ) 2 N P = \frac{1}{t_2 - t_1} \int_{t_1}^{t_2}x(t)^2dt = \frac {\sum_{n=0}^{N-1} T_s * x(n)^2}{t_2-t_1}= \frac{\sum_{n=0}^{N-1} x(n)^2}{N} P=t2​−t1​1​∫t1​t2​​x(t)2dt=t2​−t1​∑n=0N−1​Ts​∗x(n)2​=N∑n=0N−1​x(n)2​

联系前面序列的能量，可得

P = ∑ n = 0 N − 1 x ( n ) 2 N = 1 N 2 ∑ k = 0 N − 1 ∣ X ( k ) ∣ 2 P = \frac{\sum_{n=0}^{N-1} x(n)^2}{N} = \frac{1}{N^2} \sum_{k=0}^{N-1}|X(k)|^2 P=N∑n=0N−1​x(n)2​=N21​k=0∑N−1​∣X(k)∣2

则离散序列的功率等于序列各点的平方求和除以序列长度。

Matlab验证

N = 1000;Fs = 1000;t = 0:1/Fs:(N-1)/Fs;A = 1;f = 50;x = A*sin(2*pi*f*t);X = fft(x);E_t = sum(x.^2); %时域求能量E_f = sum(abs(X).^2)/N; %频域求能量P_t = sum(x.^2)/N; %时域求功率x_r = xcorr(x); %自相关函数Power_f = abs(fft(x_r))/N; %功率谱figure; plot(Power_f);%双边功率谱P_f = sum(Power_f(1:N))/N;%频域求功率谱fprintf('E_t=%f, E_f=%f，P_t=%f, P_f=%f\n', E_t, E_f, P_t, P_f);

输出结果：

E_t=500.000000, E_f=500.000000，P_t=0.500000, P_f=0.499750

使用 periodogram函数

% 功率谱估计psd = periodogram(x,'psd');power = periodogram(x,'power');subplot(2,1,1); plot(psd); title('PSD');subplot(2,1,2); plot(power); title('PS');

输出结果：

参考文献：樊昌信, 曹丽娜. 通信原理(第7版)[M]. 北京: 国防工业出版社, .