能量谱密度 功率谱密度

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作者：張無忌 链接：/question/29520851/answer/241700599来源：知乎

作者：知乎用户 链接：/question/29520851/answer/139330300 来源：知乎

一.能量W，功率P的定义

对于任意的时间信号x(t)，这个信号可以是任意随时间变化的物理量，在对信号进行能量分析时，不加区分地将其视为施加在阻值是单位电阻，即R= 1Ω的电阻上的电流。基于此，这个单位电阻的能量属性，就视为这个信号的能量属性。

所以，信号的总能量W就是：

同时，能量也可以在频域表示：

相应地，信号的平均功率P就是：

第一个极限存在，即称为能量信号，若第二个极限存在，则称为功率信号。

但是，一个信号可以既不是能量信号，也不是功率信号，但不可能既是能量信号，又是功率信号。

在频谱分析中幅度和功率是由紧密联系的两个不同的物理量：

能量：能表述为幅值的平方和，也能表述为功率在时间上的积分；

功率谱密度：是对随机变量均方值的量度，是单位频率的平均功率量纲；也就是说，对功率谱在频域上积分就可以得到信号的平均功率，而不是能量。

能量谱密度：是单位频率的幅值平方和量纲，能量谱密度曲线下面的面积才是这个信号的总能量。

于是，功率谱、能量谱、幅值谱之间的紧密关系主要表述为：

能量谱是功率谱密度函数在相位上的卷积，也是幅值谱密度函数的平方在频率上的积分；

功率谱是信号自相关函数的傅里叶变换，能量谱是信号本身傅立叶变换幅度的平方

一般地，若信号的总能量是有限的，用能量谱密度函数考察；若信号的总能量是无限的，但单位时间内的能量是有限的：比如周期信号，用功率谱密度函数考察

二、能量信号-能量谱

如果信号是能量信号，通过傅里叶变换，就很容易分离不同频域分量所对应的能量，频率ω对应的能量为:dW= |X(ω)|²d(ω/2π)，对ω积分就能得到信号的总能量，由此，|X(ω)|²就定义为能量谱密度，也常简称为能量谱，意为能量在某一频率上的分布集度或，量纲是[U]²·sec/Hz或[U]²·sec/(rad/sec)，[U]是x(t)的量纲。

三、周期功率信号-功率谱密度G(ω)

这个是十分容易的，一个有限长时间的信号进行周期延拓得到。

周期信号在时间上无始无终，能量必然是无限的，但功率可能是有限的。对信号进行傅里叶展开，可以写成：

或表示为复指数形式，频谱函数Cn是离散的

周期信号的平均功率只需要取一个周期进行能量平均即可得到，也即：

或：

利用二项式展开以及三角函数系的正交性，不难化简上式：

或

An是周期信号中频率为nΩ₀的谐波分量的幅值，Pn=An²/2是频率为nΩ₀的谐波分量的功率。

所以结论就是：周期信号的平均功率等于各谐波分量幅值的平方和。

容易理解，周期信号的功率是离散地分布在频率为基频Ω₀整数倍的谐波分量上的。

如果以频率为横坐标，功率Pn为纵坐标，就可以得到功率随频率的分布。容易观察到，周期信号的功率谱频率分布是离散的，等间隔的，间隔长度就是基频Ω₀ = 2π/T₀，如果将Pn在区间 [nΩ₀, (n+1)Ω₀] 平均化为Pn/Ω₀ ，就可以得到一条频率连续的分布曲线G(ω) ，其意义就是频率ω上的功率密度，也就是所谓的功率谱密度，量纲是[U]²/Hz。

功率谱密度曲线的对频率积分就等于平均功率P，即：

实际上，如果引入冲击函数δ(·)，功率对频率微分也可得到周期信号的功率谱密度，功率谱密度在基频整数倍为脉冲形式，即G(ω) = ΣPnδ(ω-nΩ₀)，同样满足功率谱密度的积分就等于平均功率P。

以三角函数对功率展开, 幅值An为实数，n仅取正值，功率谱密度G(ω)为单边功率谱，如果以复指函数形式对功率展开，系数Cn为复数，而n取全体整数，功率谱密度S(ω)为双边功率谱，二者关系为：An= 2|Cn| = 2|C₋n|，G(ω) = 2S(ω)。

四、非周期功率信号

如平稳随机过程。非周期信号可以用周期信号的思路来推广，相当于周期信号中的周期T₀ → ∞。

周期趋近于无穷意味着基频（离散谐波的频率分布间隔）Ω₀ → 0 ，离散的谐波功率谱线趋于连续。同时，傅里叶系数An也趋于 0，也就是说，在谐波功率谱线的图形中，所有频率的谱值Pn都是无穷小，注意到，功率谱的频率密度G(ω) =Pn/Ω₀却为有限值，可以用于描述功率的频率分布。

通过对信号的截断也容易理解非周期信号的功率谱密度。功率信号x(t)无法直接进行傅里叶变换，但通过对信号截断，则截断后的[-T,T]上有限时长的信号x₀(t)则为能量信号，可进行傅里叶变换，得到截断信号x₀(t)能量的频率表示|X₀(ω)|²。随着截断时间2T趋于无穷，截断信号x₀(t)逼近功率信号x(t)，能量谱密度|X₀(ω)|²趋于无穷，而其时间平均则为有限值，也即功率谱密度G(ω) = lim(1/2T)|X₀(ω)|²。