欢迎指正。
研究计划写到心累，大家读过的关于机器学习的图像识别的综述类论文私我看一下啊。
一维正态分布推广到多维正态分布
推导过程中会加入推导所必需的理论
从一维标准正态分布说起，
，其概率密度函数为
二维标准正态分布的概率密度函数为：
维标准正态分布的概率密度函数为：（其中 ）
接下来我们需要将其推广到一般化的正态分布上，考虑
的 个线性函数：
接下来我们推导
的概率密度函数，该密度函数即为 维正态分布的密度函数，但在此之前我们需要补充一点知识
二维连续随机变量的联合密度函数的推导设二维随机变量 的联合密度函数为 ，如果函数 有连续（一阶）偏导数，且存在唯一（‘唯一’是一一对应的要求）的反函数： ，其变换的雅可比行列式： 综上，若 ，则 的联合密度函数为 这个方法实际上就是二重积分的变量变换法。上面的 是 的反函数，不是乘积哈。多维连续随机变量的联合密度函数
上面二维的联合密度函数推广到 维情况下为：
其实这里的 我们如果把它当作统计量，那么我们得到的就是统计量分布的密度函数，这一部分可以看茆诗松《高等数理统计》（第二版）的第25页。
其实大家能猜到接下来要干啥了吧？我们的
经过变换得到了 ，我们只需要用公式（2）就可以得到 的概率密度函数了。
首先
，则其逆变换为 ，其雅可比行列式为 ，套用公式（2）我们得到
参照公式（1）将上式中的
展开我们有：
令
，则 或 ，于是上式可以写成
这就是
的概率密度函数，即 维正态分布的密度函数。其均值向量为 ,协方差矩阵为 ，即
举两个例子来看一下：比如说我们上面的 是一个正交阵，即对 做正交变换，则 互不相关。我们可以通过协方差矩阵来验证一下，此时 ，有 ， 之间的相关性为 。
一维情况下来看， ， ，则有 ，就是我们常见的一维正态分布的密度函数。
用
维正态分布的性质（非必需）来计算 维球的体积和表面积计算
维球体积和表面积的方法不少，有切割法、球坐标系等，这里我们借助 维标准正态分布积分为 的性质，做极坐标变换计算半径为 的球的体积和表面积。
提前说明，我们这里说借助n维正态的性质并不是必需条件，因为其本质上其实就是个
次的高斯积分。维标准正态 的积分为
稍作变换即为
这里补充一下高斯积分的内容，高斯积分 ，证明过程如下：记，则 因此 .
用同样的方法以及积分的对称性，我们有以下几个结论： 上面三个公式中间的那个， 个相乘即为公式（3），所以在一开始就说，我们借助 维标准正态的性质，但不是必需的，因为我们通过 次高斯积分也可以算出来。（当然，话也不能说死了，毕竟可能有更巧妙的办法能够借助n维标准正态分布继续算下去，欢迎评论指出）
借助上述高斯积分的性质，我们对公式（3）变形得到
维标准正态的使命到此为止了。
对公式（4）,我们简记为
,对做极坐标变换 有
这个积分的思想是，我们假设这个球是圆葱（想象三维情况），我们积分求每一个半径 对应那一层的面积 （未知，我们需要后续慢慢算），然后计算从0到 所有层就是球的体积。按这个思想，这个n维球的体积应该是 ，为啥上式我们要多一个 呢？因为我们不知道 的值，但是我们知道 的值，我们要通过 计算出我们需要的 .
接下来我们先给出
维球在极坐标下体积 与表面积 的关系公式，在给出之前，我们首先要说明一点，尽管我们不知到其具体表达公式，但是我们可以确定体积 与 成正比，表面积 是体积的导数，因此与 成正比
将公式（6）带入（5）得到
前面公式（4）我们知道
，与上式结合我们就有
从而有
n维球的计算参考自/archives/3154
