目录
一、极限与连续
二、导数与微分
三、中值定理与导数应用
四、不定积分
五、定积分及其应用
六、反常积分
七、微分方程
一、极限与连续
相关知识点：
邻域、数集的界、映射、函数
数集D有界 ，使得,都有|x|M
确界存在定理：若非空数集 D R 有上（下）界，则D必存在上（下）确界
单射、满射、双射（既是单射又是满射）
显函数 y=f(x)、隐函数
函数的简单特性：有界性、奇偶性、单调性、周期性
注：不是所有的周期函数都有最小正周期
反函数和复合函数
基本初等函数（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数）
双曲函数与反双曲函数
数列、极限
极限：
若数列存在极限，称此数列收敛，否则称此数列发散或不收敛
数列极限的性质：唯一性（若收敛，极限唯一）、有界性（若收敛，必有界）、保号性（前提极限不为0）、归并性（数列收敛，则子数列也收敛）
数列极限的四则运算法则
数列极限存在的判别定理
夹逼准则
单调有界原理（单调有界数列必有极限）
柯西收敛准则
函数极限
自变量趋于无穷大时函数的极限
自变量趋于有限值时函数的极限 ,
单侧极限（左极限、右极限）
函数极限的性质（与数列极限类似）：极限唯一性、函数局部有界性、函数局部保号性
函数极限运算法则（与数列极限类似）
复合函数的极限运算法则或变量替换法则
函数极限存在的条件
归结定理（海涅定理）
夹逼准则
柯西收敛准则
无穷大与无穷小
无穷小量就是极限为0的变量
有限个无穷小的和仍然是无穷小
有界函数（常数）与无穷小之积仍然是无穷小
有限个无穷小之积仍然是无穷小
注：两个无穷小的商不一定无穷小，无穷多个无穷小之和不一定无穷小
无穷大包含正无穷大和负无穷大
无穷小的比较
A=0时，是比高阶的无穷小，
A0时，同阶无穷小,
A=1时，等价无穷小,
（A不为0，k＞0）
是的k阶无穷小
函数的连续性与间断点
左、右连续
在某个点连续的充要条件为既要左连续又要右连续
间断点：
第一类间断点：可去间断点（左右极限存在且相等）、跳跃间断点（左右极限存在但不相等）
第二类间断点：无穷间断点、振荡间断点
连续函数的性质：局部有界性、局部保号性
连续函数的四则运算法则（连续函数的和、差、积、商仍然连续）
反函数的连续性（单调连续函数存在单调连续的反函数）
闭区间上的连续函数的性质
最大值最小值定理
有界值定理
零点定理
介值定理
闭区间上的连续函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值
一些重要极限
常见等价无穷小
, , ,
二、导数与微分
导数、求导法则
左导数、右导数
若函数y=f(x)在点的某领域内有定义，则在该点的可导的充要条件为：f(x)在点的左导数和右导数均存在且相等，即
导数的几何意义：斜率
若函数y=f(x)在点可导，则必然在该点连续
函数的和、差、积、商的求导法则
反函数的求导法则：反函数导数等于原函数导数的倒数
复合函数的求导法则（链式法则）
常见求导公式
; ; ; ; ;
; ; ; ; ;
; ; ; ; ; ;
双曲正弦函数： ,
双曲余弦函数： ,
双曲正切函数： ,
反双曲正弦函数： ,
反双曲余弦函数： ,
反双曲正切函数： ,
隐函数导数
隐函数求导，直接对方程求导
形如，取对数后求导
参数方程求导
高阶导数
二阶导数、n阶导数
高阶导数的运算法则
两个函数乘积的高阶导数公式——莱布尼茨公式
微分
, 为函数在点相应于自变量的微分，记作dy
可导与可微概念不同（函数的导数是函数的微分与自变量的微分之商，故导数也称为微商）
函数在点可微的充要条件是函数在该点可导
微分表达式，形如
微分的四则运算法则（类似导数）
高阶微分
三、中值定理与导数应用
微分中值定理
费马定理：可微函数的极值点必为驻点（函数f(x)取得极值点处的导数若存在，则为0）
罗尔中值定理：在闭区间[a,b]上连续且可导的函数f(x),满足f(a)=f(b),则[a,b]中存在某点导数为0
拉格朗日中值定理：f(x)在闭区间[a,b]上连续且可导，存在，使得
柯西中值定理：[a,b]上连续，(a,b)上可导，存在，
柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广（令F(x)=x，即为拉格朗日），而罗尔中值定理是拉格朗日定理的特例
泰勒公式
泰勒中值定理：,
, 拉格朗日型余项
麦克劳林公式(取)：
泰勒公式的另一种写法：
称为佩亚诺余项
洛必达法则
只有上述两种类型才能使用洛必达法则
函数的单调性和极值
导数大于0，单增
导数小于0，单减
函数极值的充分条件：
在点的两侧，f'(x)保持同号则单调，异号则为极值点；函数f(x)在驻点处二阶可导且二阶导不为0，为极值点
若连续函数在区间内有唯一的极值且为极大（小）值，那么该极值一定是函数的最大（小）值
曲线的凸性
下凸函数、上凸函数
二阶导大于0，下凸；二阶导小于0，上凸
拐点：左右两侧凸性相反
注：拐点是曲线上的点(x,f(x))，不是x
渐近线（求解先水平，再铅直，后倾斜）
平面曲线的斜率
弧微分
曲率
曲率半径
四、不定积分
原函数与不定积分
原函数F(x)
原函数存在定理：若函数f(x)在区间I上连续，则函数f(x)在区间I必存在原函数
若F(x)是f(x)的一个原函数，则其所有原函数可以写成F(x)+C
原函数族F(x)+C称为函数f(x)在区间I上的不定积分
基本积分表
;
;
;
;
;
;
;
不定积分的线性运算法则
被积函数的常数因子可以移到积分号的外边
两个函数代数和的不定积分等于两个函数不定积分的代数和
不定积分的换元积分法与分部积分法
换元积分法：将复合函数求导法则反过来应用于不定积分，即通过变量代换来求不定积分
第一换元积分法：
第二换元积分法：
分部积分法：
五、定积分及其应用
定积分
;
当积分上限与积分下限互换时，定积分反号
当a=b时，
定积分的性质
若f(x)=1，则
线性性质：
保号性： 若 ;
单调性： 若 ;
区间可加性：
积分中值定理
; f(x)、g(x)连续，且g(x)不变号，
微积分基本定理
牛顿—莱布尼茨公式： ; F(x)是f(x)的一个原函数
变上限积分 ;
若f(x)在[a,b]上可积，则 在[a,b]上连续
设f(x)在[a,b]上连续，则 在[a,b]上可导，且
定积分计算方法
换元积分法：
分部积分法：
六、反常积分
反常积分
为f(x)在[a,+∞]上的反常积分
若 存在，则该反常积分收敛；若不存在，则发散
反常积分性质
若 收敛，则
与 有相同的敛散性
若 ，且俩反常积分均收敛，则
若 收敛，则 也收敛
反常积分敛散性判别法
比较判别法 非负函数 ; 若 收敛，则 收敛；
若 发散，则 发散
推论1： （A>a，非负函数）收敛的充要条件是：存在与A无关的正数M，使得对任何A>a，都有
推论2： （非负函数）
当0<k<+∞时， 与 同时收敛和发散
当k=0时，若 收敛，则 收敛；
当k=+∞时，若 发散，则 发散
推论3（柯西判别法）：
若 且p>1，则 收敛
若 且p1，则 发散
推论4：
若p>1，，则 收敛
若，，则 发散
无界函数的反常积分
若函数f(x)在点a的任一邻域内都无界，则称点a为函数f(x)的瑕点
，若等式右边极限存在，则 收敛 （b为瑕点）
，若等式右边极限存在，则 收敛 （a为瑕点）
无界函数的反常积分的性质及判别法
，（）
若 收敛，则 收敛
判别法同反常积分相同
七、微分方程
一阶微分方程
; ;
可分离变量的一阶微分方程: ;
齐次型方程： ; 利用代换 ，将这类方程化为可分离变量的方程
一阶线性微分方程： ， 为齐次线性方程，为非齐次
伯努利方程：
可降阶的高阶微分方程
; 积分n次
; 令 ， ，将原方程转换为 ，再进行积分求解
; 令 ， ，原方程转变为 ，再求解
线性微分方程解的结构
n阶线性微分方程：
二阶齐次线性微分方程：
若函数 ， 是该微分方程的俩个解，则函数 叠加原理
若函数 ， 是该微分方程的俩个线性无关的解，则方程的通解（全部解）
二阶非齐次线性微分方程：
二阶非齐次线性微分方程通解等于它所对应的齐次线性微分方程的通解与它本身的一个特解之和
叠加原理： ；
是 的特解， 是 特解，则 是原方程的特解
解线性微分方程的常数变易法：
已知其对应的齐次方程不恒为0的解，令 ，再求通解
已知其对应的齐次方程的俩个线性无关的解 ，，可设方程的特解为
常系数线性微分方程
二阶常系数齐次线性微分方程： (p、q都是常数) ;
指数函数y=试方程的解，当且仅当 是 的根
是 的特征方程，关于特征方程的特征根：
它有两个不相同的实数根和，则微分方程的通解为
它有二重（实）跟，则通解为
它有复数跟，则通解为
