前言：本人考数二，故只整理了公共部分。数一、三单独考察部分未整理。除必会公式外，还收录了自己做题中较常见的部分公式。
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由于本人考数二，恕其他部分无暇顾及，其次，本文只是笔记，故不会涵盖所有知识点。
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函数极限与连续数列极限导数相关积分相关三角函数相关不等式相关多元函数其他公式复合函数相关二重积分微分方程各种应用公式隐藏条件
一、函数极限与连续
泰勒公式
sinx=x−x33!+o(x3)arcsinx=x+x33!+o(x3)tanx=x+x33+o(x3)arctanx=x−x33+o(x3)cosx=1−x22!+x44!+o(x4)(1+x)α=1+αx+α(α−1)2!x2+o(x2)ex=1+x+x22!+x33!+o(x3)ln(1+x)=x−x22+x33+o(x3)sinx=x-\frac{x^3}{3!}+o(x^3) \qquad arcsinx=x+\frac{x^3}{3!}+o(x^3)\\ tanx=x+\frac{x^3}{3}+o(x^3) \qquad arctanx=x-\frac{x^3}{3}+o(x^3)\\cosx=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+o(x^4) \qquad (1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha -1)}{2!}x^2+o(x^2)\\ e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+o(x^3) \qquad ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)\\ sinx=x−3!x3+o(x3)arcsinx=x+3!x3+o(x3)tanx=x+3x3+o(x3)arctanx=x−3x3+o(x3)cosx=1−2!x2+4!x4+o(x4)(1+x)α=1+αx+2!α(α−1)x2+o(x2)ex=1+x+2!x2+3!x3+o(x3)ln(1+x)=x−2x2+3x3+o(x3)
判断是否正负相间技巧：
若图像爆炸式增长，则恒正，如 ：
exe^xex
若图像上下波动或增长缓慢，则正负相间，如：
sinx、cosxsinx、cosxsinx、cosx
麦克劳林公式
ex=∑n=0∞xnn!=1+x+x22+⋯+xnn!+o(xn)sinx=∑n=0∞(−1)n(2n+1)!x2n+1=x−x36+o(x3)cosx=∑n=0∞(−1)n(2n)!x2n=1−12x2+o(x2)ln(1+x)=∑n=0∞(−1)nn+1xn+1=x−12x2+o(x2)(1+x)α=1+∑n=1∞α(α−1)⋯(α−n+1)n!xn=1+αx+α(α−1)2!x2+o(x2)arctanx=x−13x3+o(x3)tanx=x+13x3+o(x3)arcsinx=x+16x3+o(x3)e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n)\\ \sin x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)\\ \cos x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}=1-\frac{1}{2}x^2+o(x^2)\\ \ln(1+x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n+1}x^{n+1}=x-\frac{1}{2}x^2+o(x^2)\\ (1+x)^\alpha=1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+o(x^2)\\ \arctan x=x-\frac{1}{3}x^3+o(x^3)\\ \tan x=x+\frac{1}{3}x^3+o(x^3)\\ \arcsin x=x+\frac{1}{6}x^3+o(x^3) ex=n=0∑∞n!xn=1+x+2x2+⋯+n!xn+o(xn)sinx=n=0∑∞(2n+1)!(−1)nx2n+1=x−6x3+o(x3)cosx=n=0∑∞(2n)!(−1)nx2n=1−21x2+o(x2)ln(1+x)=n=0∑∞n+1(−1)nxn+1=x−21x2+o(x2)(1+x)α=1+n=1∑∞n!α(α−1)⋯(α−n+1)xn=1+αx+2!α(α−1)x2+o(x2)arctanx=x−31x3+o(x3)tanx=x+31x3+o(x3)arcsinx=x+61x3+o(x3)
常用等价无穷小
sinx∼tanx∼arcsinx∼arctanx∼xx−sinx∼16x3x−arcsinx∼−16x3x−tanx∼−13x3x−arctanx∼13x31−cosx∼12x2(1−cosax∼a2x2)ax−1∼xlna(1+x)a−1∼axex−1∼xln(1+x)∼xsinx\sim tanx \sim arcsinx \sim arctanx \sim x\\ x-sinx \sim \frac{1}{6}x^3 \qquad x-arcsinx \sim -\frac{1}{6}x^3\\ x-tanx \sim -\frac{1}{3}x^3 \qquad x-arctanx \sim \frac{1}{3}x^3\\ 1-cosx \sim \frac{1}{2}x^2 \qquad (1-cos^ax \sim \frac{a}{2}x^2)\\ a^x-1 \sim xlna \qquad (1+x)^a -1 \sim ax\\ e^x-1 \sim x \qquad ln(1+x) \sim x\\ sinx∼tanx∼arcsinx∼arctanx∼xx−sinx∼61x3x−arcsinx∼−61x3x−tanx∼−31x3x−arctanx∼31x31−cosx∼21x2(1−cosax∼2ax2)ax−1∼xlna(1+x)a−1∼axex−1∼xln(1+x)∼x
注：
型如1∞即I=limg(x)f(x)若g(x)→1,f(x)→∞则令A=limf(x)[g(x)−1]I=eA型如1^∞ \quad即 I=\lim{g(x)^{f(x)}} \\ 若g(x)\rightarrow1,f(x)\rightarrow ∞\\ 则令A={\lim{f(x)[g(x)-1]}} \\ I=e^A 型如1∞即I=limg(x)f(x)若g(x)→1,f(x)→∞则令A=limf(x)[g(x)−1]I=eA
比阶：
若x→0时，f(x)和g(x)分别是x的m、n阶无穷小,则：1、f(x)g(x)是x的m+n阶无穷小2、若m>n，f(x)g(x)是x的m−n阶无穷小3、m>n时，f(x)±g(x)是x的n阶无穷小；4、m=n时，f(x)±g(x)是x的n阶或高于n阶无穷小;5、∫0g(x)f(t)dt是x的(m+1)⋅n阶无穷小\begin{aligned} 若x\rightarrow 0时，f(x)和g(x)分别是x的m、n阶无穷小,则：\\ &1、f(x)g(x)是x的m+n阶无穷小\\ &2、若m>n，\frac{f(x)}{g(x)}是x的m-n阶无穷小\\ &3、m>n时，f(x)\pm g(x)是x的n阶无穷小；\\ &4、m=n时，f(x)\pm g(x)是x的n阶\color{red}或\color{black}高于n阶无穷小;\\ &5、\int_0^{g(x)}{f(t)}dt是x的(m+1)\cdot n阶无穷小 \end{aligned} 若x→0时，f(x)和g(x)分别是x的m、n阶无穷小,则：1、f(x)g(x)是x的m+n阶无穷小2、若m>n，g(x)f(x)是x的m−n阶无穷小3、m>n时，f(x)±g(x)是x的n阶无穷小；4、m=n时，f(x)±g(x)是x的n阶或高于n阶无穷小;5、∫0g(x)f(t)dt是x的(m+1)⋅n阶无穷小
增长速度：
x→∞时，a<logax<x<ax<x!<xxx\rightarrow ∞ 时， a<log_ax<x<a^x<x!<x^x\\ x→∞时，a<logax<x<ax<x!<xx
洛必达易错点：
1、对00、∞∞型可使用洛必达，若结果不存在，则洛必达失效，应使用其他方法。2、若f(x)在x=0处无定义，如f(x)=1x,则对limx→0∫0xf(t)dtx不能使用洛必达原因：对变限积分∫axf(t)dt求导的前提：在[a,x]内连续3、f(x)在某处存在二阶导数⇏f(x)二阶导数连续即对于limx→0f′(x)x不能使用洛必达\begin{aligned} &1、对\frac{0}{0}、\frac{∞}{∞}型可使用洛必达，若结果不存在，则洛必达失效，应使用其他方法。\\\\ &2、若f(x)在x=0处无定义，如f(x)=\frac{1}{x} ,则对\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{\int_0^xf(t)dt}{x}}不能使用洛必达\\ 原因：对变限积分\int_a^xf(t)dt求导的前提：在[a,x]内连续\\ &3、 f(x)在某处存在二阶导数\nRightarrow f(x)二阶导数连续\\ 即对于\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{f'(x)}{x}}不能使用洛必达\\ \end{aligned} 原因：对变限积分∫axf(t)dt求导的前提：在[a,x]内连续即对于x→0limxf′(x)不能使用洛必达1、对00、∞∞型可使用洛必达，若结果不存在，则洛必达失效，应使用其他方法。2、若f(x)在x=0处无定义，如f(x)=x1,则对x→0limx∫0xf(t)dt不能使用洛必达3、f(x)在某处存在二阶导数⇏f(x)二阶导数连续
其他结论：
1、{amp;limn→+∞a1n+a2n+⋯+amnn=max{a1,a2⋯,am}amp;limn→−∞a1n+a2n+⋯+amnn=min{a1,a2⋯,am}（a1…am都是非负数）2、∫0+∞e−x2dx=π23、limn→∞an=1(a>0)\begin{aligned} &1、 \left\{ \begin{aligned} &\lim_{n \rightarrow +\infty}{\sqrt[n]{a_1^n+a_2^n+\cdots+a_m^n}}=max\{a_1,a_2\cdots,a_m\} \\ &\lim_{n \rightarrow -\infty}{\sqrt[n]{a_1^n+a_2^n+\cdots+a_m^n}}=min\{a_1,a_2\cdots,a_m\} \end{aligned} \right. （a_1\dots a_m都是非负数） \\ &2、\int_0^{+\infty} e^{-x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\\ &3、\lim_{n \rightarrow \infty}{\sqrt[n]{a}=1} \qquad (a>0) \end{aligned} 1、⎩⎨⎧amp;n→+∞limna1n+a2n+⋯+amn=max{a1,a2⋯,am}amp;n→−∞limna1n+a2n+⋯+amn=min{a1,a2⋯,am}（a1…am都是非负数）2、∫0+∞e−x2dx=2π3、n→∞limna=1(a>0)
二、数列极限
单调性
1、利用基本不等式
2、把xn改为x，引入f(x)证明数列单调2、把x_n改为x，引入f(x)证明数列单调 2、把xn改为x，引入f(x)证明数列单调
{若f′(x)>0，则{xn}单调{当x2>x1时，{xn}单调增加当x2<x1时，{xn}单调减小f′(x)<0时，则{xn}不单调\begin{aligned} \left\{ \begin{aligned} &若f'(x)>0，则\{x_n\}单调\left\{ \begin{aligned} 当x_2>x_1时，\{x_n\}单调增加\\ 当x_2<x_1时，\{x_n\}单调减小\\ \end{aligned} \right.\\\\ & f'(x)<0时，则\{x_n\}不单调 \end{aligned} \right. \end{aligned} ⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧若f′(x)>0，则{xn}单调{当x2>x1时，{xn}单调增加当x2<x1时，{xn}单调减小f′(x)<0时，则{xn}不单调
三、导数相关
基本求导公式：
(xα)′=αxα−1,(ax)′=axlna，(ex)′=ex，(logax)′=1xlna，(lnx)′=1x(sinx)′=cosx，(cosx)′=−sinx，(arcsinx)′=11−x2，(arccosx)′=−11−x2(tanx)′=sex2x，(cotx)′=−csc2x，(arctanx)′=11+x2，(arccotx)′=−11+x2(secx)′=secxtanx，(cscx)′=−cscxcotx(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha -1} ,\quad (a^x)'=a^xlna，\quad (e^x)'=e^x，\quad (log_ax)'=\frac{1}{xlna} ，\quad (lnx)'=\frac{1}{x}\\ (sinx)'=cosx，\quad (cosx)'=-sinx，\quad (arcsinx)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} ，\quad (arccosx)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ (tanx)'=sex^2x ，\quad (cotx)'=-csc^2x ，\quad (arctanx)'=\frac{1}{1+x^2} ，\quad (arccotx)'=-\frac{1}{1+x^2} \\ (secx)'=secxtanx ，\quad (cscx)'=-cscxcotx (xα)′=αxα−1,(ax)′=axlna，(ex)′=ex，(logax)′=xlna1，(lnx)′=x1(sinx)′=cosx，(cosx)′=−sinx，(arcsinx)′=1−x21，(arccosx)′=−1−x21(tanx)′=sex2x，(cotx)′=−csc2x，(arctanx)′=1+x21，(arccotx)′=−1+x21(secx)′=secxtanx，(cscx)′=−cscxcotx
特殊求导：
(ln∣x∣)′=1xln∣x∣求导可视绝对值而不见(ex+e−x)′′=ex+e−x[ln(x+a2+x2)]′=1a2+x2（ln(x+1+x2)为奇函数）\begin{aligned} &(ln|x|)'=\frac{1}{x} \qquad ln|x|求导可视绝对值而不见 \\ &(e^x+e^{-x})''=e^x+e^{-x}\\ &[ln(x+\sqrt{a^2+x^2})]'=\frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}} \quad （ln(x+\sqrt{1+x^2})为奇函数） \end{aligned} (ln∣x∣)′=x1ln∣x∣求导可视绝对值而不见(ex+e−x)′′=ex+e−x[ln(x+a2+x2)]′=a2+x21（ln(x+1+x2)为奇函数）
导数定义
f′(x)=limΔx→0f(x+Δx)−f(x)Δxf′(a)=limx→af(x)−f(a)x−aΔy=AΔx+o(Δx)（线性主部：AΔx=dy=yx′Δx）\begin{aligned} &f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{f(x+ \Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\\ &f'(a)=\lim_{x \rightarrow a}{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}\\ &\Delta y=A \Delta x+o(\Delta x) \qquad （线性主部：A\Delta x=dy=y'_x\Delta x）\\ \end{aligned} f′(x)=Δx→0limΔxf(x+Δx)−f(x)f′(a)=x→alimx−af(x)−f(a)Δy=AΔx+o(Δx)（线性主部：AΔx=dy=yx′Δx）
高阶求导公式
(eax+b)(n)=aneax+b(e^{ax+b})^{(n)}=a^ne^{ax+b} (eax+b)(n)=aneax+b
[sin(ax+b)](n)=ansin(ax+b+n2π)[sin(ax+b)]^{(n)}=a^nsin(ax+b+\frac{n}{2}\pi) [sin(ax+b)](n)=ansin(ax+b+2nπ)
[cos(ax+b)](n)=ancos(ax+b+n2π)[cos(ax+b)]^{(n)}=a^ncos(ax+b+\frac{n}{2}\pi) [cos(ax+b)](n)=ancos(ax+b+2nπ)
[ln(ax+b)](n)=(−1)n−1an(n−1)!(ax+b)n[ln(ax+b)]^{(n)}=(-1)^{n-1}a^n\frac{(n-1)!}{(ax+b)^n} [ln(ax+b)](n)=(−1)n−1an(ax+b)n(n−1)!
(1a+bx)(n)=(−1)nbnn!(a+bx)n+1(\frac{1}{a+bx})^{(n)}=(-1)^nb^n\frac{n!}{(a+bx)^{n+1}} (a+bx1)(n)=(−1)nbn(a+bx)n+1n!
(1a−bx)(n)=bnn!(a−bx)n+1(\frac{1}{a-bx})^{(n)}=b^n\frac{n!}{(a-bx)^{n+1}} (a−bx1)(n)=bn(a−bx)n+1n!
扩展：题目可以出成f(x,y)对x求n阶偏导扩展：题目可以出成 f(x,y) 对 x 求n阶偏导 扩展：题目可以出成f(x,y)对x求n阶偏导
子孙三代的关系
∫0xf(x)dx⟵f(x)⟶f′(x)奇⟵①偶⟶奇偶⟵奇⟶偶T⟵②T⟶T\int_0^xf(x)dx\longleftarrow \quad f(x) \longrightarrow \quad f'(x)\\ \qquad 奇\stackrel{①}{\longleftarrow} \quad偶 \quad \longrightarrow \quad 奇\\ \qquad 偶\longleftarrow \quad 奇 \quad \longrightarrow \quad 偶\\ \qquad T \stackrel{②}{\longleftarrow} \quad T \quad \longrightarrow \quad T\\ ∫0xf(x)dx⟵f(x)⟶f′(x)奇⟵①偶⟶奇偶⟵奇⟶偶T⟵②T⟶T
①当且仅当下限为0时成立②当且仅当∫0Tf(x)dx=0时成立\begin{aligned} &①\quad当且仅当下限为0时成立\\ &②\quad 当且仅当 \int_0^Tf(x)dx=0 时成立\\ \end{aligned} ①当且仅当下限为0时成立②当且仅当∫0Tf(x)dx=0时成立
带拉格朗日余项的 n 阶泰勒公式
f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+⋯+1n!f(n)(ξ)(x−x0)n（ξ介于x,x0之间）f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+ \cdots +\frac{1}{n!}f^{(n)}(\xi)(x-x_0)^n \quad （\xi介于x,x_0之间） f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+⋯+n!1f(n)(ξ)(x−x0)n（ξ介于x,x0之间）
其他结论
1、g(x)在a处连续,若f(x)=∣x−a∣g(x)在x=a处可导，则g(a)=0\begin{aligned} 1、g(x)在a处连续,若f(x)=|x-a|g(x)在x=a处可导，则g(a)=0\\\\ \end{aligned} 1、g(x)在a处连续,若f(x)=∣x−a∣g(x)在x=a处可导，则g(a)=0
2、若f(x)在x=0处连续，且limx→0f(x)x=A则：①f(0)=0。②f′(0)=A。\begin{aligned} &2、若f(x)在x=0处连续，且\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{f(x)}{x}}=A\\ &则：①\quad f(0)=0。\qquad ②\quad f'(0)=A。\\ \end{aligned} 2、若f(x)在x=0处连续，且x→0limxf(x)=A则：①f(0)=0。②f′(0)=A。
3、不定积分存在定理①f(x)在区间I上连续⟶f(x)在I上有原函数。②f(x)在区间上有第一类间断点、无穷间断点⟶f(x)在I上不存在原函数。\begin{aligned} 3、&不定积分存在定理\\ &①\quad f(x)在区间I上连续\longrightarrow f(x)在I上有原函数。\\&②\quad f(x)在区间上有第一类间断点、无穷间断点\longrightarrow f(x)在I上不存在原函数。 \end{aligned} 3、不定积分存在定理①f(x)在区间I上连续⟶f(x)在I上有原函数。②f(x)在区间上有第一类间断点、无穷间断点⟶f(x)在I上不存在原函数。
4、定积分存在定理amp;充分条件:①f(x)在区间[a,b]上连续⟶F(x)=∫abf(x)dx存在⇔f(x)在[a,b]可积amp;②f(x)在区间[a,b]上单调⟶F(x)=∫abf(x)dx存在⇔f(x))在[a,b]可积amp;③f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点⟶F(x)=∫abf(x)dx存在⇔f(x)在[a,b]可积amp;必要条件:amp;①可积函数必有界，即若定积分F(x)=∫abf(x)dx存在，则f(x)在[a,b]上必有界。\begin{aligned} 4、&定积分存在定理\\\\ &充分条件:\\ &①\quad f(x)在区间[a,b]上连续\longrightarrow F(x)= \int_a^bf(x)dx存在\Leftrightarrow f(x)在[a,b]可积\\&②\quad f(x)在区间[a,b]上单调\longrightarrow F(x)= \int_a^bf(x)dx存在 \Leftrightarrow f(x))在[a,b]可积\\&③\quad f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点\longrightarrow F(x)= \int_a^bf(x)dx存在 \Leftrightarrow f(x)在[a,b]可积\\\\ &必要条件:\\ &① \quad可积函数必有界，即若定积分F(x)= \int_a^bf(x)dx存在，则f(x)在[a,b]上必有界。 \end{aligned} 4、定积分存在定理amp;充分条件:①f(x)在区间[a,b]上连续⟶F(x)=∫abf(x)dx存在⇔f(x)在[a,b]可积amp;②f(x)在区间[a,b]上单调⟶F(x)=∫abf(x)dx存在⇔f(x))在[a,b]可积amp;③f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点⟶F(x)=∫abf(x)dx存在⇔f(x)在[a,b]可积amp;必要条件:amp;①可积函数必有界，即若定积分F(x)=∫abf(x)dx存在，则f(x)在[a,b]上必有界。
5、变限积分的性质：①函数f(x)在[a,b]上可积，则F(x)=∫axf(t)dt在[a,b]连续。②函数f(x)在[a,b]上连续，则F(x)=∫axf(t)dt在[a,b]可导。\begin{aligned} 5、&变限积分的性质：\\ &①\quad 函数f(x)在[a,b]上可积，则F(x)= \int_a^xf(t)dt在[a,b]连续。\\ &②\quad 函数f(x)在[a,b]上连续，则F(x)= \int_a^xf(t)dt在[a,b]可导。\\ \end{aligned} 5、变限积分的性质：①函数f(x)在[a,b]上可积，则F(x)=∫axf(t)dt在[a,b]连续。②函数f(x)在[a,b]上连续，则F(x)=∫axf(t)dt在[a,b]可导。
三、积分相关
基本积分公式
关于a2和x2积分关于a^2 和x^2 积分 关于a2和x2积分
∫1x2+a2dx=1aarctanxa+C∫1x2−a2dx=12aln∣x−ax+a∣+C\int\frac{1}{x^2+a^2}dx=\frac{1}{a}arctan\frac{x}{a}+C\\ \int\frac{1}{x^2-a^2}dx=\frac{1}{2a}\ln|\frac{x-a}{x+a}|+C\\ ∫x2+a21dx=a1arctanax+C∫x2−a21dx=2a1ln∣x+ax−a∣+C
∫1x2+a2dx=ln(x+x2+a2)+C∫1x2−a2dx=ln∣x+x2−a2∣+C∫1a2−x2dx=arcsinxa+C\int\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx=\ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C\\ \int\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx=\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C\\ \int\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=arcsin\frac{x}{a}+C\\ ∫x2+a21dx=ln(x+x2+a2)+C∫x2−a21dx=ln∣x+x2−a2∣+C∫a2−x21dx=arcsinax+C
∫x2+a2dx=x2x2+a2+a22ln(x+x2+a2)+C∫x2−a2dx=x2x2−a2−a22ln∣x+x2−a2∣+C∫a2−x2dx=x2a2−x2+a22arcsinxa+C\int\sqrt{x^2+a^2}dx=\frac{x}{2}\sqrt{x^2+a^2}+\frac{a^2}{2}\ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C\\ \int\sqrt{x^2-a^2}dx=\frac{x}{2}\sqrt{x^2-a^2}-\frac{a^2}{2}\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C\\ \int\sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a}+C\\ ∫x2+a2dx=2xx2+a2+2a2ln(x+x2+a2)+C∫x2−a2dx=2xx2−a2−2a2ln∣x+x2−a2∣+C∫a2−x2dx=2xa2−x2+2a2arcsinax+C
关于三角函数积分
∫secxdx=ln∣secx+tanx∣+C∫cscxdx=ln∣cscx−cotx∣+C\int{secx}dx=\ln|secx+tanx|+C\\ \int{cscx}dx=\ln|cscx-cotx|+C\\ ∫secxdx=ln∣secx+tanx∣+C∫cscxdx=ln∣cscx−cotx∣+C
∫sec2xdx=tanx+C∫csc2xdx=−cotx+C\int{sec^2x}dx=tanx+C\\ \int{csc^2x}dx=-cotx+C\\ ∫sec2xdx=tanx+C∫csc2xdx=−cotx+C
∫secxtanxdx=secx+C∫cscxcotxdx=−cscx+C\int{secxtanx}dx=secx+C\\ \int{cscxcotx}dx=-cscx+C\\ ∫secxtanxdx=secx+C∫cscxcotxdx=−cscx+C
∫sin2xdx=12x−14sin2x+C∫cos2xdx=12x+14sin2x+C\int{sin^2x}dx=\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}sin2x+C\\ \int{cos^2x}dx=\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}sin2x+C\\ ∫sin2xdx=21x−41sin2x+C∫cos2xdx=21x+41sin2x+C
∫tan2xdx=tanx−x+C∫cot2xdx=−cotx−x+C\int{tan^2x}dx=tanx - x+C\\ \int{cot^2x}dx=-cotx - x+C\\ ∫tan2xdx=tanx−x+C∫cot2xdx=−cotx−x+C
Wallis（华里士）公式及相关
In=∫0π2sinnxdx={amp;n−1n⋅n−3n−2⋅⋅⋅34⋅12⋅π2n为正偶数amp;n−1n⋅n−3n−2⋅⋅⋅45⋅23⋅1n为正奇数I_n=\int_0^\frac{\pi}{2}{sin^nx}dx=\left\{ \begin{aligned} &\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdot\cdot\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2} \quad n为正偶数 \\\\ &\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdot\cdot\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{2}{3}\cdot1\quad n为正奇数 \\ \end{aligned} \right. In=∫02πsinnxdx=⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧amp;nn−1⋅n−2n−3⋅⋅⋅43⋅21⋅2πn为正偶数amp;nn−1⋅n−2n−3⋅⋅⋅54⋅32⋅1n为正奇数
{∫0π2sinnxdx=∫0π2cosnxdx∫0πsinnxdx=2∫0π2sinnxdx∫0πcosnxdx={0n为正奇数2∫0π2cosnxdxn为正偶数∫02πsinnxdx=∫02πcosnxdx={0n为正奇数4∫0π2cosnxdxn为正偶数\begin{aligned} \left\{ \begin{aligned} &\int_0^\frac{\pi}{2}{sin^nx}dx=\int_0^\frac{\pi}{2}{cos^nx}dx\\\\ &\int_0^\pi{sin^nx}dx=2\int_0^\frac{\pi}{2}{sin^nx}dx\\ &\int_0^\pi{cos^nx}dx=\left\{ \begin{aligned} &0 \qquad &&n为正奇数\\ &2\int_0^\frac{\pi}{2}{cos^nx}dx &&n为正偶数\\ \end{aligned} \right. \\\\ &\int_0^{2\pi}{sin^nx}dx=\int_0^{2\pi}{cos^nx}dx= \left\{ \begin{aligned} &0 \qquad &&n为正奇数\\ &4\int_0^\frac{\pi}{2}{cos^nx}dx &&n为正偶数\\ \end{aligned} \right. \\\\ \end{aligned} \right. \end{aligned} ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧∫02πsinnxdx=∫02πcosnxdx∫0πsinnxdx=2∫02πsinnxdx∫0πcosnxdx=⎩⎪⎨⎪⎧02∫02πcosnxdxn为正奇数n为正偶数∫02πsinnxdx=∫02πcosnxdx=⎩⎪⎨⎪⎧04∫02πcosnxdxn为正奇数n为正偶数
∫0πxf(sinx)dx=π2∫0πf(sinx)dx=π∫0π2f(sinx)dx\int_0^\pi xf(sinx)dx=\frac{\pi}{2}\int_0^\pi f(sinx)dx=\pi\int_0^\frac{\pi}{2} f(sinx)dx ∫0πxf(sinx)dx=2π∫0πf(sinx)dx=π∫02πf(sinx)dx
注：
①f(sinx)包括f(∣cosx∣)、f(cosnx)dx(n为偶数)②有人误以为cosx=1−sin2x可以写成f(sinx)，当x∈[0,π]时，cosx∈[−1,1],而1−sin2x=∣cosx∣∈[0,1]显然不成立。\begin{aligned} &①\quad f(sinx)包括f(|cosx|)、f(cos^nx)dx(n为偶数)\\ &② \quad 有人误以为 cosx=\sqrt{1-sin^2x}可以写成f(sinx)，\\ &当x\in[0,\pi]时，cosx\in[-1,1],而\sqrt{1-sin^2x}=|cosx|\in[0,1]\\ &显然不成立。 \end{aligned} ①f(sinx)包括f(∣cosx∣)、f(cosnx)dx(n为偶数)②有人误以为cosx=1−sin2x可以写成f(sinx)，当x∈[0,π]时，cosx∈[−1,1],而1−sin2x=∣cosx∣∈[0,1]显然不成立。
做题常见积分
∫xsinxdx=−xcosx+sinx+C∫xcosxdx=xsinx+cosx+C\begin{aligned} \int{xsinx}dx=-xcosx+sinx+C\\ \int{xcosx}dx=xsinx+cosx+C\\ \end{aligned} ∫xsinxdx=−xcosx+sinx+C∫xcosxdx=xsinx+cosx+C
∫lnxdx=xlnx−x+C\int{ln{x}}dx=xlnx-x+C ∫lnxdx=xlnx−x+C
∫xlnxdx=12x2lnx−14x2+C\int{xln{x}}dx=\frac{1}{2}x^2lnx-\frac{1}{4}x^2+C ∫xlnxdx=21x2lnx−41x2+C
∫xexdx=xex−ex+C\int{xe^x}dx=xe^x-e^x+C ∫xexdx=xex−ex+C
∫sin2xdx=sin2x+C\int{sin2x}dx=sin^2x+C ∫sin2xdx=sin2x+C
∫f′(x)f(x)dx=ln∣f(x)∣+C(常用于构造辅助函数)\int{\frac{f'(x)}{f(x)}}dx=ln|f(x)|+C \quad(常用于构造辅助函数) ∫f(x)f′(x)dx=ln∣f(x)∣+C(常用于构造辅助函数)
反常积分的判敛
amp;①要求每个积分有且仅有一个奇点amp;②{∫1+∞1xp{amp;p>1时,amp;收敛amp;p≤1,amp;发散amp;(大的喜欢大的)∫011xp{amp;0<p<1时,amp;收敛amp;p≥1,amp;发散amp;(小的喜欢小的)\begin{aligned} &①\quad 要求每个积分有且仅有一个奇点\\ &②\quad \left\{ \begin{aligned} \int_1^{+\infty}\frac{1}{x^p}\left\{ \begin{aligned} &p>1时,&收敛\\ &p\leq1,&发散 \end{aligned} \right. \qquad&(大的喜欢大的)\\ \\ \int_0^1\frac{1}{x^p}\left\{ \begin{aligned} &0<p<1时,&收敛\\ &p\geq1,&发散 \end{aligned} \right. \qquad&(小的喜欢小的) \end{aligned} \right. \end{aligned} amp;①要求每个积分有且仅有一个奇点amp;②⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧∫1+∞xp1{amp;p>1时,amp;p≤1,amp;收敛amp;发散∫01xp1{amp;0<p<1时,amp;p≥1,amp;收敛amp;发散amp;(大的喜欢大的)amp;(小的喜欢小的)
其他
1、sinx或cosx面积1、sinx或cosx面积 1、sinx或cosx面积
2、积分中值定理∫abf(x)dx=A,则f(ξ)=∫abf(x)dxb−a=Ab−a2、积分中值定理\\ \int_a^bf(x)dx=A,则f(\xi)=\frac{\int_a^bf(x)dx}{b-a}=\frac{A}{b-a} 2、积分中值定理∫abf(x)dx=A,则f(ξ)=b−a∫abf(x)dx=b−aA
四、三角函数相关
相互转化
1+tan2x=sec2x1+cot2x=csc2x1+tan^2x=sec^2x\\ 1+cot^2x=csc^2x\\ 1+tan2x=sec2x1+cot2x=csc2x
sin2x=2sinxcosxcos2x=cos2x−sin2x=1−2sin2x=2cos2x−1sin2x=2sinxcosx\\ \begin{aligned} cos2x&=cos^2x-sin^2x\\ &=1-2sin^2x\\ &=2cos^2x-1\\ \end{aligned} sin2x=2sinxcosxcos2x=cos2x−sin2x=1−2sin2x=2cos2x−1
sin3x=−4sin3x+3sinxcos3x=4cos3x−3cosxsin3x=-4sin^3x+3sinx\\ cos3x=4cos^3x-3cosx\\ sin3x=−4sin3x+3sinxcos3x=4cos3x−3cosx
sin2x=12(1−cos2x)cos2x=12(1+cos2x)sin^2x=\frac{1}{2}(1-cos2x)\\ cos^2x=\frac{1}{2}(1+cos2x)\\ sin2x=21(1−cos2x)cos2x=21(1+cos2x)
变角
sin(π±x)=∓sinxcos(π±x)=−cosxsin(π2±x)=cosxcos(π2±x)=∓sinxsin(\pi\pm x)=\mp sinx\\ cos(\pi\pm x)=-cosx\\ sin(\frac{\pi}{2}\pm x)=cosx\\ cos(\frac{\pi}{2}\pm x)=\mp sinx\\ sin(π±x)=∓sinxcos(π±x)=−cosxsin(2π±x)=cosxcos(2π±x)=∓sinx
asinx+bcosx=a2+b2sin(x+arctanba)asinx+bcosx=\sqrt{a^2+b^2}sin(x+arctan\frac{b}{a})\\ asinx+bcosx=a2+b2sin(x+arctanab)
万能公式(不常用)
令u=tanx2令u=tan\frac{x}{2} 令u=tan2x
sinx=2tanx21+tan2x2=2u1+u2sinx=\frac{2tan\frac{x}{2}}{1+tan^2\frac{x}{2}}=\frac{2u}{1+u^2} sinx=1+tan22x2tan2x=1+u22u
cosx=1−tan2x21+tan2x2=1−u21+u2cosx=\frac{1-tan^2\frac{x}{2}}{1+tan^2\frac{x}{2}}=\frac{1-u^2}{1+u^2} cosx=1+tan22x1−tan22x=1+u21−u2
tanx=2tanx21−tan2x2=2u1−u2tanx=\frac{2tan\frac{x}{2}}{1-tan^2\frac{x}{2}}=\frac{2u}{1-u^2} tanx=1−tan22x2tan2x=1−u22u
一般用于解∫1a+sinxdx、∫1a+cosxdx、∫1a+sinx+cosxdx一般用于解 \int{\frac{1}{a+sinx}}dx 、 \int{\frac{1}{a+cosx}}dx 、 \int{\frac{1}{a+sinx+cosx}}dx 一般用于解∫a+sinx1dx、∫a+cosx1dx、∫a+sinx+cosx1dx
步骤：①令u=tanx2,则dx=21+u2du②sinx=2u1+u2、cosx=1−u21+u2\begin{aligned} 步骤：&①\quad 令u=tan\frac{x}{2},则dx=\frac{2}{1+u^2}du\\ &②\quad sinx=\frac{2u}{1+u^2}、cosx=\frac{1-u^2}{1+u^2}\\ \end{aligned} 步骤：①令u=tan2x,则dx=1+u22du②sinx=1+u22u、cosx=1+u21−u2
若是不定积分，最后别忘代回x若是不定积分，最后别忘代回 x若是不定积分，最后别忘代回x
和差角公式
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβcos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβcos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβtan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβtan(α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ\sin (\alpha+\beta) = \sin \alpha\cos \beta+\cos \alpha\sin \beta \\ \sin (\alpha-\beta) = \sin \alpha \cos \beta-\cos \alpha \sin \beta \\ \cos (\alpha+\beta) =\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta \\ \cos (\alpha-\beta) = \cos \alpha\cos \beta+\sin \alpha \sin \beta \\ \tan (\alpha+\beta) = \frac{\tan \alpha+\tan \beta}{1-\tan \alpha \tan \beta} \\ \tan (\alpha-\beta) = \frac{\tan \alpha-\tan \beta}{1+\tan \alpha \tan \beta} sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβcos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβcos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβtan(α+β)=1−tanαtanβtanα+tanβtan(α−β)=1+tanαtanβtanα−tanβ
积化和差（不常用）
sinαcosβ=12[sin(α+β)+sin(α−β)]cosαsinβ=12[sin(α+β)−sin(α−β)]cosαcosβ=12[cos(α+β)+cos(α−β)]sinαsinβ=−12[cos(α+β)−cos(α−β)]\sin \alpha \cos \beta=\frac{1}{2}[\sin (\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)] \\ \cos \alpha \sin \beta=\frac{1}{2}[\sin (\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)] \\ \cos \alpha \cos \beta=\frac{1}{2}[\cos (\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)] \\ \sin \alpha \sin \beta=-\frac{1}{2}[\cos (\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)] sinαcosβ=21[sin(α+β)+sin(α−β)]cosαsinβ=21[sin(α+β)−sin(α−β)]cosαcosβ=21[cos(α+β)+cos(α−β)]sinαsinβ=−21[cos(α+β)−cos(α−β)]
和差化积（不常用）
sinα+sinβ=2sinα+β2cosα−β2sinα−sinβ=2cosα+β2sinα−β2cosα+cosβ=2cosα+β2cosα−β2cosα−cosβ=−2sinα+β2sinα−β2\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} \\ \sin\alpha-\sin\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} \\ \cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} \\ \cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\\ sinα+sinβ=2sin2α+βcos2α−βsinα−sinβ=2cos2α+βsin2α−βcosα+cosβ=2cos2α+βcos2α−βcosα−cosβ=−2sin2α+βsin2α−β
特殊方法：记“帅”=sinx“哥”=cosx帅+帅=帅哥帅−帅=哥帅哥+哥=哥哥哥−哥=负嫂嫂特殊方法：\\记 “帅”=sinx \quad “哥”=cosx\\ 帅+帅=帅哥\\ 帅-帅=哥帅\\ 哥+哥=哥哥\\ 哥-哥=负嫂嫂\\ 特殊方法：记“帅”=sinx“哥”=cosx帅+帅=帅哥帅−帅=哥帅哥+哥=哥哥哥−哥=负嫂嫂
五、不等式
∣a±b∣≤∣a∣+∣b∣;∣∣a∣−∣b∣∣≤∣a−b∣|a\pm b|\leq|a|+|b|;||a|-|b||\leq |a-b| ∣a±b∣≤∣a∣+∣b∣;∣∣a∣−∣b∣∣≤∣a−b∣
ab≤a+b2≤a2+b22\sqrt{ab}\leq\frac{a+b}{2}\leq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} ab≤2a+b≤2a2+b2
abc3≤a+b+c3\sqrt[3]{abc}\leq\frac{a+b+c}{3} 3abc≤3a+b+c
sinx<x<tanx(0<x<π2)sinx<x<tanx \qquad (0<x<\frac{\pi}{2}) sinx<x<tanx(0<x<2π)
arctanx<x<acrsinx(0<x<1)arctanx<x<acrsinx \qquad (0<x<1) arctanx<x<acrsinx(0<x<1)
ex≥x+1x−1≥lnxe^x\geq x+1 \qquad \qquad x-1 \ge lnx ex≥x+1x−1≥lnx
11+x≤ln(1+1x)≤1x\frac{1}{1+x} \le ln(1+\frac{1}{x}) \leq \frac{1}{x} 1+x1≤ln(1+x1)≤x1
六、多元函数
偏导存在性、可微性
结论：
1、f(x,y)为常数⇔∂f∂x≡∂f∂y≡0⇔df(x,y)≡01、f(x,y)为常数 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{\partial f}{\partial x} \equiv \frac{\partial f}{\partial y} \equiv 0 \quad \Leftrightarrow \quad df(x,y)\equiv 0 1、f(x,y)为常数⇔∂x∂f≡∂y∂f≡0⇔df(x,y)≡0
雅可比：
设：{aF(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0,当满足∂(F,G)∂(y,z)≠0时，dydx=−∂(F,G)∂(x,z)∂(F,G)∂(y,z)dzdx=−∂(F,G)∂(y,x)∂(F,G)∂(y,z)设：\left\{ \begin{aligned} aF(x,y,z)=0, \\G(x,y,z)=0, \end{aligned} \right. 当满足\frac{\partial(F,G)}{\partial(y,z)}\ne 0时，\\ \frac{dy}{dx}=-\frac{\frac{\partial(F,G)}{\partial(\color{red}x\color{black},z)}}{\frac{\partial(F,G)}{\partial(\color{red}y\color{black},z)}} \qquad \frac{dz}{dx}=-\frac{\frac{\partial(F,G)}{\partial(y,\color{red}x\color{black})}}{\frac{\partial(F,G)}{\partial(y,\color{red}z\color{black})}} 设：{aF(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0,当满足∂(y,z)∂(F,G)=0时，dxdy=−∂(y,z)∂(F,G)∂(x,z)∂(F,G)dxdz=−∂(y,z)∂(F,G)∂(y,x)∂(F,G)
七、二重积分
对称性
①普通对称性：
若D关于y=x对称，则：∬Df(x,y)dσ={2∬D1f(x,y)dσ，f(x,y)=f(y,x)0，f(x,y)=−f(y,x)(D1是D关于x对称的半个部分)\begin{aligned} &若D关于y=x对称，则：\\ &\iint _Df(x,y)d\sigma = \left\{ \begin{aligned} &2\iint_{D_1} f(x,y)d\sigma，&f(x,y)=f(y,x)\\ &0，&f(x,y)=-f(y,x) \end{aligned} \right. \\ (&D_1是D关于x对称的半个部分) \end{aligned} (若D关于y=x对称，则：∬Df(x,y)dσ=⎩⎪⎨⎪⎧2∬D1f(x,y)dσ，0，f(x,y)=f(y,x)f(x,y)=−f(y,x)D1是D关于x对称的半个部分)
②轮换对称性 ：
若将D中x,y对调后，D不变，则有则：I=∬Df(x,y)dσ=∬Df(y,x)dσ\begin{aligned} &若将D中x,y对调后，D不变，则有则：\\ &I=\iint _Df(x,y)d\sigma=\iint _Df(y,x)d\sigma \end{aligned} 若将D中x,y对调后，D不变，则有则：I=∬Df(x,y)dσ=∬Df(y,x)dσ
问：谁动了你的面包？答：没人动 ——宇哥
八、微分方程
结论
1、如果y1,y2,y3是二阶非齐次线性微分方程的3个解，则:当且仅当a+b+c=1时，ay1+by2+cy3是该方程的通解1、如果y_1,y_2,y_3是二阶非齐次线性微分方程的3个解， \\ 则:当且仅当a+b+c=1时，ay_1+by_2+cy_3是该方程的通解 1、如果y1,y2,y3是二阶非齐次线性微分方程的3个解，则:当且仅当a+b+c=1时，ay1+by2+cy3是该方程的通解
九、各种应用公式
1.面积
直角坐标：S=∫ab∣f(x)−g(x)∣dx极坐标：S=∫αβ12∣r22(θ)−r12(θ)∣dθ直角坐标：S=\int_a^b{|f(x)-g(x)|}dx\\ 极坐标：S=\int_\alpha^\beta \frac{1}{2}{|r_2^2(\theta)-r_1^2(\theta)|}d\theta \\ 直角坐标：S=∫ab∣f(x)−g(x)∣dx极坐标：S=∫αβ21∣r22(θ)−r12(θ)∣dθ
2.平面曲线弧长
直角坐标：s=∫ab1+[y′(x)]2dx参数方程：s=∫αβ[x′(t)]2+[y′(t)]2dt极坐标方程：s=∫αβ[r(θ)]2+[r′(θ)]2dθ直角坐标：s=\int_a^b{\sqrt{1+[y'(x)]^2}}dx\\ 参数方程：s=\int_\alpha^\beta{\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}}dt\\ 极坐标方程：s=\int_\alpha^\beta{\sqrt{[r(\theta)]^2+[r'(\theta)]^2}}d\theta\\ 直角坐标：s=∫ab1+[y′(x)]2dx参数方程：s=∫αβ[x′(t)]2+[y′(t)]2dt极坐标方程：s=∫αβ[r(θ)]2+[r′(θ)]2dθ
3.旋转体体积
绕x轴：Vx=∫abπy2(x)dx绕y轴：Vy=∫ab2πx∣y(x)∣dx(柱壳法)二重积分法：V=2π∫abdx∫y1(x)y2(x)rdy(r为旋转半径)绕x轴：V_x=\int_a^b{\pi y^2(x)}dx\\ 绕y轴：V_y=\int_a^b{2\pi x|y(x)|}dx \quad(柱壳法)\\ 二重积分法：V=2\pi\int_a^bdx\int_{y_1(x)}^{y_2(x)}rdy \quad (r为旋转半径) 绕x轴：Vx=∫abπy2(x)dx绕y轴：Vy=∫ab2πx∣y(x)∣dx(柱壳法)二重积分法：V=2π∫abdx∫y1(x)y2(x)rdy(r为旋转半径)
一定要理解，光背公式没用。另：推荐学习二重积分法求旋转体体积。
4.旋转曲面侧面积(x轴)
直角坐标：Sx=2π∫ab∣y(x)∣1+[y′(x)]2dx参数方程：Sx=2π∫αβ∣y(t)∣[x′(t)]2+[y′(t)]2dt极坐标：Sx=2π∫αβr(θ)sinθ[r(θ)]2+[r′(θ)]2dθ直角坐标：S_x=2\pi \int_a^b{|y(x)|\sqrt{1+[y'(x)]^2}}dx\\ 参数方程：S_x=2\pi \int_\alpha^\beta{|y(t)|\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}}dt\\ 极坐标：S_x=2\pi \int_\alpha^\beta{r(\theta)\sin\theta\sqrt{[r(\theta)]^2+[r'(\theta)]^2}}d\theta 直角坐标：Sx=2π∫ab∣y(x)∣1+[y′(x)]2dx参数方程：Sx=2π∫αβ∣y(t)∣[x′(t)]2+[y′(t)]2dt极坐标：Sx=2π∫αβr(θ)sinθ[r(θ)]2+[r′(θ)]2dθ
5.形心：
xˉ=∬xdσ∬dσyˉ=∬ydσ∬dσ\bar{x}=\frac{\iint{x}d\sigma}{\iint d\sigma} \qquad \bar{y}=\frac{\iint{y}d\sigma}{\iint d\sigma} xˉ=∬dσ∬xdσyˉ=∬dσ∬ydσ
利用形心求特殊二重积分：{∬xdσ=xˉ⋅SD∬ydσ=yˉ⋅SD（其中D的形心(xˉ,yˉ)）利用形心求特殊二重积分： \left\{ \begin{aligned} {\iint{x}d\sigma}=\bar{x}\cdot S_D \quad \\{\iint{y}d\sigma}=\bar{y}\cdot S_D \quad \end{aligned} \right. （其中D的形心(\bar{x},\bar{y})） 利用形心求特殊二重积分：⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧∬xdσ=xˉ⋅SD∬ydσ=yˉ⋅SD（其中D的形心(xˉ,yˉ)）
6.质心：
①xˉ=∫xρ(x)dx∫ρ(x)dx(ρ(x)为线密度)②xˉ=∫x(t)ds∫dsyˉ=∫y(t)ds∫ds(参数方程，ds为弧微分)\begin{aligned}&①\quad \bar{x}=\frac{\int{x\rho(x)}dx}{\int \rho(x)dx} \qquad (\rho(x)为线密度)\\\\ &② \quad\bar{x}=\frac{\int{x(t)}ds}{ \int ds} \quad \bar{y}=\frac{\int{y(t)}ds}{ \int ds} \quad (参数方程，ds为弧微分) \end{aligned} ①xˉ=∫ρ(x)dx∫xρ(x)dx(ρ(x)为线密度)②xˉ=∫ds∫x(t)dsyˉ=∫ds∫y(t)ds(参数方程，ds为弧微分)
7.曲率和曲率半径：
①K=∣y′′∣(1+y′2)32(K越大，R越小，弧度越小)②R=1K=(1+y′2)32∣y′′∣\begin{aligned} &①\quad K=\frac{|y''|}{(1+y'^2)^\frac{3}{2}} \quad (K越大，R越小，弧度越小)\\ &②\quad R=\frac{1}{K}=\frac{(1+y'^2)^\frac{3}{2}}{|y''|} \end{aligned} ①K=(1+y′2)23∣y′′∣(K越大，R越小，弧度越小)②R=K1=∣y′′∣(1+y′2)23
K[f1]大于K[f2]
8.平均值：
fˉ=1b−a∫abf(x)dx\bar{f}=\frac{1}{b-a}\int_a^b{f(x)}dx fˉ=b−a1∫abf(x)dx
8.反函数：
xy′=1yx′xyy′′=−yxx′′yx′3x'_y=\frac{1}{y'_x} \qquad x''_{yy}=-\frac{y''_{xx}}{{y'_x}^3} xy′=yx′1xyy′′=−yx′3yxx′′
9.面积、体积相关：
S球=4πR2V球=43πR3S_球=4\pi R^2 \qquad V_球=\frac{4}{3}\pi R^3 S球=4πR2V球=34πR3
S椭圆=πabS_{椭圆}=\pi ab S椭圆=πab
10.点到线的距离公式：
D=∣Ax0+By0+C∣A2+B2D=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}} D=A2+B2∣Ax0+By0+C∣
11.切线、法线、截距
设y=y(x)可导且y′(x)≠0，则①切线方程：Y−y=y′(x)(X−x)X=0时，y轴截距=y−xy′(x)Y=0时，x轴截距=x−yy′(x)②法线方程：Y−y=−1y′(x)(X−x)X=0时，y轴截距=y+xy′(x)Y=0时，x轴截距=x+yy′(x)\begin{aligned} &设y=y(x)可导且y'(x)\ne 0，则 \\ ① \quad &切线方程：Y-y=y'(x)(X-x) \\ &X=0时，y轴截距=y-xy'(x) \\ &Y=0时，x轴截距=x-\frac{y}{y'(x)}\\ ② \quad &法线方程：Y-y=-\frac{1}{y'(x)}(X-x) \\ &X=0时，y轴截距=y+\frac{x}{y'(x)} \\ &Y=0时，x轴截距=x+yy'(x) \end{aligned} ①②设y=y(x)可导且y′(x)=0，则切线方程：Y−y=y′(x)(X−x)X=0时，y轴截距=y−xy′(x)Y=0时，x轴截距=x−y′(x)y法线方程：Y−y=−y′(x)1(X−x)X=0时，y轴截距=y+y′(x)xY=0时，x轴截距=x+yy′(x)
十、复合函数
1.奇偶性：
对于f(g(x))：内偶则偶，内奇同外。对于f(g(x))：内偶则偶，内奇同外。 对于f(g(x))：内偶则偶，内奇同外。
2.连续性：
唯一确定的结论：若g(x)在x0处连续，f(u)在u0=g(x0)处连续，则f(g(x))在x0处连续\begin{aligned}\\ &唯一确定的结论：\\ &若g(x)在x_0处连续，f(u)在u_0=g(x_0)处连续，则f(g(x))在x_0处连续 \end{aligned} 唯一确定的结论：若g(x)在x0处连续，f(u)在u0=g(x0)处连续，则f(g(x))在x0处连续
十一、隐藏条件
光滑曲线：处处连续且可导
