视觉SLAM中,本质矩阵、基础矩阵、单应性矩阵自由度和秩分析
1.各个矩阵的自由度
由于基础矩阵和本质矩阵都是由对极约束来的
1.1 本质矩阵E的自由度为5,秩为2
1.1.1 自由度:
首先,旋转和平移一共6个自由度。
其次,由于对极约束的原因,本质矩阵是具有尺度等价性的,所以自由度减1。
所以,本质矩阵的自由度为5。
旋转矩阵的9个参数,存在6个约束条件,所以只有3个自由度:三个向量的模长为1这3个条件、三个向量两两垂直2个条件(XY垂直,XZ垂直这两个)、以及右手系(或左手系)这1个条件(这个条件意味着行列式是1或-1,也暗示了如果XY垂直YZ垂直,则XZ也会垂直)。9 - 3 - 2 - 1 = 3
1.1.2 秩
性质:正交矩阵一定是可逆矩阵,秩为3
可得–>旋转矩阵的秩是3
关于平移向量的反对称矩阵的秩是2,可以证明的
因此–>本质矩阵的的秩为2
1.2 基础矩阵F的自由度为7,秩为2
1.2.1 自由度
首先,基础矩阵也是一个3x3的矩阵。
其次,其仍然受对极约束的影响,具有尺度等价性。
再其次,基础矩阵的行列式为0。(因为他的秩为2,见下面。)
最后得到,基础矩阵的自由度为7.
1.左右相机内参的待定参数各为4,平移[T]x的待定参数是3,旋转矩阵R的自由度是3,加在一起是4+4+3+3=14个参数,也就是正常来说把14个参数都确定了才能确定F。2.但是实际上F是一个3*3的矩阵,只包含9个参数,所以计算F的自由度最大是9,也就是9个参数就可以确定F。
1.2.2 秩
首先,相机内参矩阵秩为3,旋转矩阵秩为3。
其次,平移反对称矩阵秩为2。
最后,同样由性质2得出,基础矩阵的秩为2。
1.3 单应性矩阵H的自由度为8,秩为3
1.3.1 自由度
首先,单应性矩阵也是一个3x3的矩阵。
其次,其具有尺度等价性。
最后得到,基础矩阵的自由度为8。
1.3.2 秩
因为单应性矩阵是可逆矩阵,所以他的秩为3
2.单应矩阵应用
单应矩阵描述的就是同一个平面的点在不同图像之间的映射关系,这里前提是同一个平面,这个前提很重要
应用:https://mp./s/lx9P45fVniccrz5c68wPyw
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