写在前面

这篇博文是用来复习课程“大地测量学基础”的，里面仅列出本人觉得这门课程比较重要的部分，希望能够帮助到有需要的朋友。

课本采用《大地测量学基础》孔祥元，武汉大学出版社。

前面已经有一篇“大地测量学基础（复习）”了，但单篇博文篇幅过长，遂分割为三部分，第一、二、三章为第一部分，第四章为第二部分，第五章为一部分。

本篇博文为第三部分。

目录

写在前面第5章 地球椭球及其数学投影的基本理论5.1 ==地球椭球的基本几何参数及其相互关系==5.2 ==椭球面上的常用坐标系及其相互关系==大地坐标系（大地测量中的基本坐标系）空间直角坐标系子午面直角坐标系(过渡计算中应用)地心纬度和归化纬度 ( 过渡计算中应用)大地极坐标系转换子午平面直角坐标系——大地坐标系 （Lxy-->LB）空间直角坐标系——子午面直角坐标系 （XYZ-->Lxy）空间直角坐标系——大地坐标系（XYZ-BLH）5.3 椭球面上的曲率半径子午圈曲率半径卯酉圈曲率半径任意法截弧的曲率半径平均曲率半径==M、N、R的关系==5.4 椭球面上弧长计算子午线弧长计算平行圈弧长计算比较5.5 ==大地线==相对法截线相对法截弧的概念相对法截弧的特点及影响大地线的定义和性质大地线的微分方程及克莱劳方程5.6 ==将地面观测值归算至椭球面==5.6.1 地面水平方向观测值归算到椭球面（三差改正）垂线偏差标高差改正截面差改正5.6.2 地面距离观测值归算到椭球面基线尺量距的归算电磁波测距的归算5.7 大地主题解算概述5.7.1 大地主题解算5.7.2 幂级数大地主题解算5.7.2 白塞尔大地主题解算（投影方式）白塞尔大地主题解算步骤：正解白塞尔大地主题解算步骤：反算5.8 ==地图数学投影变换的基本概念==5.8.1 地图投影的基本概念5.8.2 地图投影的变形长度比主方向变形椭圆（研究投影变形的基本工具）等角投影（正形投影）5.8.3 高斯投影概述控制测量对地图投影的要求高斯投影的基本概念高斯分带投影高斯分带投影的计算投影带重叠的规定投影带与坐标系椭球面上三角网化算到高斯平面5.8.4 高斯投影正反算公式正形投影的一般条件高斯投影正算公式高斯投影反算公式平面子午线收敛角5.9 ==椭球面观测值化算到高斯平面==5.9.1 方向改化定义方向改化的作用方向改化的近似公式公式及讨论5.9.2 距离改化定义弧长与弦长关系长度比和长度变形距离改化公式写在最后

第5章 地球椭球及其数学投影的基本理论

本章要求：对控制网的归算（概算）有清晰的思路，掌握归算的步骤，清楚每一步归算的产生原因，掌握基本概念（图示）。

5.1地球椭球的基本几何参数及其相互关系

参数之间关系

5.2椭球面上的常用坐标系及其相互关系

大地坐标系（大地测量中的基本坐标系）

空间直角坐标系

子午面直角坐标系(过渡计算中应用)

地心纬度和归化纬度 ( 过渡计算中应用)

大地极坐标系

转换

子午平面直角坐标系——大地坐标系 （Lxy–>LB）

常用公式

空间直角坐标系——子午面直角坐标系 （XYZ–>Lxy）

空间直角坐标系——大地坐标系（XYZ-BLH）

小结：

1、水准面是大地测量观测的基准面。

2、参考椭球面是大地测量计算的基准面。

3、控制网的概算主要包括哪两步归算工作？

第一步，将观测值归算到参考椭球上。

第二步，将参考椭球投影到高斯平面上。

4、什么是大地方位角？

在参考椭球面上过某点的子午圈与过该点某一方向的大地线间的夹角，大地方位角由子午圈北方向起按顺时针方向计算，通常用A表示。

5.3 椭球面上的曲率半径

基本概念：

•法截线：包含椭球法线的面与椭球表面相交的曲线。

•法截线有无穷多个。法截线是平面曲线。

•子午圈是法截线，平行圈（纬圈）在赤道上是法截线，其他位置不是。

子午圈曲率半径

卯酉圈曲率半径

卯酉圈：与子午线相垂直的法截弧

任意法截弧的曲率半径

平均曲率半径

M、N、R的关系

小结：

1、法截弧是一条平面曲线。

2、子午圈曲率半径在极点处达到最大值。

3、卯酉圈曲率半径在极点处达到极值？

4、卯酉圈曲率半径N、平均曲率半径R以及子午圈曲率半径M的关系是什么？

卯酉圈曲率半径N >平均曲率半径R >子午圈曲率半径M

5.4 椭球面上弧长计算

子午线弧长计算

平行圈弧长计算

比较

小结：

1、纬度相差一度的同一子午圈上的两点弧长随着纬度增加而缓慢增加。

2、经度相差一度的同一平行圈上的两点弧长随着纬度增加而快速减小。

5.5大地线

相对法截线

相对法截弧的概念

正法截弧：包含这一点的法线并通过另外一点的法截面与椭球面的交线。

➢用A点照准B点，则照准面同椭球面的截线为AaB，叫做A点的正法截线，或B点的反法截线；

➢由B照A点，则照准面同椭球面的截线为BbA，叫做B点的正法截线，或A点的反法截线。

➢因法线互不相交，故这两条法截线不重合。我们把和叫做A、B两点的相对法截线。.

相对法截弧的特点及影响

特点：两点之间正反法截弧的位置关系，一般纬度高的正法截弧在上。

影响：

1、使图形破裂，对破裂的图形无法计算

2、两点之间的法截线极可能不唯一

3、法截线不一定是椭球面上两点之间的最短线

大地线的定义和性质

定义：椭球面上两点间最短曲线叫做大地线

有关概念

大地线的微分方程及克莱劳方程

大地线微分方程

克莱劳方程

小结：

1、大地线的性质：大地线位于相对法截线之间，并靠近正法截线。

2、椭球面上，大地线上各点的平行圈半径与该点大地线方位角的正弦之积为一常数。以上性质是克莱劳方程。

3、控制网归算中，大地线与法截弧之间的距离差异不需要考虑。

4、以下椭球面上的的曲线，是大地线的包括(CD)

A、平行圈 B、卯酉圈 C、子午圈 D、赤道 E、任意方向法截线

5、大地线的定义：大地线上任何一点的主法线与该点的曲面法线重合

5.6将地面观测值归算至椭球面

5.6.1 地面水平方向观测值归算到椭球面（三差改正）

垂线偏差

垂线偏差改正：地面上以铅垂线为准的水平方向观测值，归算为以椭球面法线为准的水平方向观测值时，顾及测站点垂线偏差影响所加的改正。

垂线偏差改正的推导：

垂线偏差改正类似于垂直轴倾斜改正。

标高差改正

标高差改正又称由照准点高程引起的改正。

截面差改正

截面差改正：将法截弧方向化为大地线方向应加的改正。

公式

小结：

1、经过垂线偏差改正，把以垂线为依据的地面观测的水平方向值归算到以椭球面法线为依据的方向值；

2、经过标高差改正后，便将地面观测的水平方向值归化为椭球面上相应的法截弧方向；

3、经过截面差改正将法截弧方向化为大地线方向；

5.6.2 地面距离观测值归算到椭球面

基线尺量距的归算

电磁波测距的归算

小结：

1、地面距离观测值归算到椭球面上的，长度一般是变短。

2、地面距离观测值归算到椭球面上的计算中，最主要的影响因素是高程。

5.7 大地主题解算概述

5.7.1 大地主题解算

大地主题解算的实质：

1、椭球面上的极三角形问题

2、大地坐标与大地极坐标的相互换算

5.7.2 幂级数大地主题解算

勒让德多项式：将纬度差、经度差、方位角差展开成大地线长度的幂级数形式。

高斯平均引数法

小结：

1、下列大地主题解算方法中，哪些是基于幂级数展开的方法？（AB）

A、勒让德级数法 B、高斯平均引数法 C、白塞尔大地主题解算方法

2、区分大地主题正解和反解的基本概念

大地主题正解：已知1点的大地经纬度B1、L1 ，1 、3两点间的大地 线长、大地方位角，如何3点的大地经纬度B3、L3。

大地主题反解：已知1、2两点的大地经纬度B、L ，获得椭球面 两点间的大地线长、大地方位角。

3、幂级数展开形式的大地主题解算方法通常以微分方程为基础，将大地线两端点的大地经差（l）、大地纬差（b）和大地方位角差（a）展开为大地线长度S的幂级数的形式。其中：

勒让德级数法：以大地线端点为出发点展开的，级数收敛慢，计算不方便

高斯平均引数法：在大地线中点 M展开，收敛快，精度高；

5.7.2 白塞尔大地主题解算（投影方式）

典型解法：白塞尔大地主题解算

特点：解算精度与距离长短无关，它既适用于短距离解算，也适用于长距离解算。可适应20000km或更长的距离，这对于国际联测，精密导航，远程导弹发射等都具有重要意义。

基本思想：

白塞尔投影条件：

1、椭球面大地线投影到球面上为大圆弧

2、大地线和大圆弧上相应点的方位角相等

3、球面上任意一点纬度等于椭球面上相应点的归化纬度

白塞尔大地主题解算步骤：正解

（1）将椭球面元素投影到球面上

（2）解算球面三角形

（3）将球面元素换算到椭球面上

象限判断

白塞尔大地主题解算步骤：反算

（1）将椭球面元素投影到球面上

（2）解算球面三角形

（3）将球面元素换算到椭球面上

小结：

1、白赛尔投影条件是什么？

椭球面大地线投影到球面上方的大圆弧

大地线和大圆弧上相应点的方位角相等

球面上任意一点纬度等于椭球面上相应点的归化纬度

2、白塞尔大地主题解算的基本思想是什么?

先把椭球面上的已知值投影到球面上，在球面上解算大地问题，再把球面上的值换算到椭球面上。

5.8地图数学投影变换的基本概念

5.8.1 地图投影的基本概念

5.8.2 地图投影的变形

椭球面是一个凸起的、不可展平的曲面，若将这个曲面上的元素（比如一段距离、一个角度、一个图形）投影到平面上，就会和原来的距离、角度、图形呈现差异，这一差异称作投影的变形。

长度比

长度比的性质：

•不同点的的长度比不同

•同一点不同方向的长度比不同

主方向

主方向：

•长度比极值所在的方向称为主方向。

•主方向在椭球面上互相正交，它们在平面上的投影曲线也是互相正交的。

变形椭圆（研究投影变形的基本工具）

等角投影（正形投影）

性质：

1、同一点上的各个方向有相同的长度比；

2、不同点有不同的长度比；

小结：

1、所谓地图投影，简略说来就是将椭球面各元素（包括坐标、方向和长度）按一定的数学法则投影到平面上。

2、如果以定点为中心，以长度比的数值为向径，构成以两个主方向为轴，以两个长度比极值为长短半径的椭圆，这个椭圆称为变形椭圆。

3、平面（投影面上）的微分边长，与原面上的相应的微分边长之比称为长度比。

4、正形投影的性质：

同一点上的各个方向有相同的长度比； 不同点有不同的长度比；

5.8.3 高斯投影概述

控制测量对地图投影的要求

高斯投影的基本概念

高斯投影又称横轴椭圆柱等角投影。

高斯分带投影

高斯分带投影的计算

投影带重叠的规定

投影带与坐标系

小结：

1、高斯投影的投影方式是（C）

A、等角横切圆锥投影 B、等角竖切圆锥投影 C、等角横切椭圆柱投影 D、等角竖切椭圆柱投影

2、下列关于高斯坐标投影长度比的说法中，正确的是（D）。

A、与方向有关，与位置有关 B、与方向有关，与位置无关 C、与方向无关，与位置无关 D、与方向无关，与位置有关

3、某点高斯投影6°带的坐标表示为XAX_AXA​=3 347 256 m，YAY_AYA​=19 476 543 m，则该点在3°带第37带的实际坐标为(A)。

A.3347256、-23457 B.3347256、19476543 C.3347 256、476 543 D. 3347 256、37 476543

4、某点在高斯投影6°带的坐标表示为XAX_AXA​=3026 255 m，YAY_AYA​=20 478 561 m，则该点所在三度带号及其中央子午线经度为(A) 。

A.39、117度 B.39、120度 C.40、120 度 D. 38、114度

5、已知某6度带两点高斯平面坐标，要求计算两点椭球面上最短距离，其正确的方法是（A）

A.高斯投影反算与大地主题反解 B.将平面距离直接归算到椭球面 C.高斯投影反算与再大地主题正算 D. 都不对

6、由椭球面点大地坐标计算高斯平面坐标，需要进行（B）

A.高斯投影反算 B.高斯投影正算 C. 大地主题正算 D.大地主题反算

7、高斯投影应该具备下列哪些性质（ABC）

A.中央子午线投影为直线 B.中央子午线投影后长度保持不变 C.正形投影 D.同一点不同方向长度变形不相等

椭球面上三角网化算到高斯平面

计算内容

高斯投影的正反算问题

椭球体上元素投影到平面上，包括坐标，方向，距离三类问题。 但是坐标的投影是主要矛盾。

小结：

1、（重点掌握）椭球面上控制网化算到高斯平面上，需要进行哪些计算？

将起算点的大地坐标，归算为高斯平面的直角坐标；

将椭球面的起算边长，归算到平面上的直线长度，加距离改正；

将大地方位角归算到平面上坐标方位角；

观测数据的归算，将大地线投影形象改成直线方向，加方向改化。

其他可能的工作，如换带计算。

5.8.4 高斯投影正反算公式

正形投影的一般条件

正形投影：在微小区域内，椭球面图形投影后保持形状不变，也就是说，投影到平面上的微小图形与椭球面上的微小图形相似。

正形投影的性质：

1、同一点上的各个方向有相同的长度比；

2、不同点有不同的长度比；

长度比的通用公式：

柯西-黎曼方程说明：

高斯投影正算公式

高斯投影必须满足的三个条件：

①中央子午线投影后为一条直线，并且是投影点的对称轴；（x 是l的偶函数，y是l的奇函数 ）

②投影具有正形性质，即等角投影条件；（满足柯西-黎曼方程）

③中央子午线投影后长度不变。（l=0时，m=0）

正算公式：

=正算公式的特点：

①当l=0时，则y=0，x=X（中央子午线弧长），这就是说，中央子午线投影亦为直线，且为x轴，其长度与中央子午线长度相等。

②当B=0时，x=X=0，y则随 l 的变化而变化，这就是说，赤道投影为一直线且为y轴。

③当l=常数时(经线)，随着B值增加，x值增加，y值向0靠近，即经线是凹向中央子午线的曲线，且收敛于两极。

④当B=常数时(纬线)，随着的 l 增加，x值和y值都增加，则纬线是凸向赤道的曲线。

高斯投影反算公式

需要满足三个条件：

①x坐标轴投影后为中央子午线，是投影的对称轴；

②投影具有正形性质，即柯西-黎曼方程；

③x坐标轴投影后长度不变；

反算公式：

底点纬度（垂足纬度）：y=0时，x作为中央子午线的弧长，对应的大地纬度

平面子午线收敛角

性质

小结：

1、正形投影的投影函数满足的一般条件是：柯西黎曼公式。

2、由椭球面点大地坐标计算高斯平面坐标，需要进行高斯投影正算。

3、已知某6度带两点高斯平面坐标，要求计算两点椭球面上最短距离，其正确的方法是：高斯投影反算与大地主题反解。

4、高斯投影后，经线是凹向中央子午线的曲线。

5、高斯投影后，纬线是凸向赤道的曲线。

6、高斯投影正算满足的三个条件是什么？

中央子午线投影后为一条直线，并且是投影点的对称轴；

投影具有正形性质，即等角投影条件；

中央子午线投影后长度不变。

8、什么是子午线收敛角？

过某一点子午线在平面上的投影线的切线与坐标北方向的夹角。

5.9椭球面观测值化算到高斯平面

5.9.1 方向改化

定义

方向改化——将平面上两点的大地线的投影像由曲线改成弦线的改正。

方向改化的作用

把椭球面上的三角网归化到平面上的一项基本工作。

方向改化的近似公式

公式及讨论

精度

检核

大地方位角化为坐标方位角

方向改化的数值

5.9.2 距离改化

定义

距离改化——将大地线长度SSS化为其描写形弦线长度S0S_0S0​所应加的改正。

弧长与弦长关系

长度比和长度变形

①当y=0时，m=1，轴子午线上长度比为1，长度变形为0；

②y不为零时，不论正负，m恒大于1，平面上的长度永远比椭球面上的长；

③长度变形与y2成正比，离开中央子午线越远，长度变形越大；

④在同一子午线上，不同点的长度变形不同。

长度比的数量级

距离改化公式

小结：

写在最后

“大地测量学基础”内容比较繁杂，这里整理的难免有疏漏，还请读者自行查阅了解。

这里仅列出个人认为比价重要的知识点，供需要的朋友快速查阅回顾，主要目的还是本人复习使用。