#中考数学复习#今天来给大家分享存在性问题之等腰三角形的存在性问题方法讲解。
01
模型讲解
要注意“AB=AC”与“△ABC是等腰三角形”的区别.
前者不仅表明△ABC是等腰三角形，而且还明确了等腰三角形中的腰和底，后者并未明确等腰三角形的腰和底，所以在已知条件中，若无相应图形条件的补充，“△ABC是等腰三角形”应分三种情况来分析：AB=AC,AB=BC,AC=BC.
一般情况下，此类问题中，△ABC中的其中两个顶点是可以明确其位置（坐标）的，不妨设为点A、点B,则AB的长度为定长，第三个顶点C可以这样确定(示意图如下)：
若AB=AC,则点C在以A为圆心、AB长为半径的圆上（A、B、C三点不共线）；若BA=BC,则点C在以B为圆心、AB长为半径的圆上（A、B、C三点不共线）；若CA=CB,则点C在线段AB的垂直平分线上（点C不在线段AB上）.当然，点C还受到已知条件的其他约束，如已知点C在某一条确定的直线上，则该直线与上述作图轨迹的交点即为符合条件的点C的位置.
示意图
在平面直角坐标系中，已知点A、点B的坐标，点C在某一确定直线上，若以点A、点B、点C为顶点的三角形是等腰三角形，则还可利用勾股定理，把AB、AC、BC表示出来，按照AB=AC或AB=BC或AC=BC建立相应方程求解.
02
例题
如图1,在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(m,m)，点B的坐标为(n,-n),抛物线经过A、O、B三点，连接OA、QB、AB,线段AB交y轴于点C.巳知实数m、n,(m<n)分别是方程x-2x-3=0的两根.
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 若点P为线段OB上的一个动点，连接PC.当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标.
图1
03
例题思路
(1) 通过方程可确定A,B两点的坐标，进而利用待定系数法求出二次函数解析式.
(2) 首先求出AB的直线解析式，以及BO的直线解析式.若△OPC是等腰三角形时,有以下三种可能：OC=OP或OC=PC或OP=PC.利用等腰三角形的性质可分别求出三种情况下x的值。
04
例题详解
(1)解方程x-2x-3=0,得 x1=3,x2= -1.
因为m<n,所以m =-1,n=3.所以A(-1,-1)、B(3,-3).
因为抛物线过原点，设抛物线的解析式为y=ax+bx.
所以-1=a-b,-3=9a+3b,解得a= -1/2,b=1/2.
所以抛物线的解析式为y= -1/2*x+1/2*x.
(2)设直线AB的解析式为y=kx+b.
所以 -1= -k+b,-3=3k+b,解得k= -1/2,b= -3/2.
所以直线AB的解析式为y= -1/2*x -3/2.所以C点坐标为(0, -3/2).
因为直线OB过点O(0,0)、B(3, -3)，所以直线OB的解析式为y= -x..
因为△OPC为等腰三角形，所以 OC=OP 或 OP=PC 或 OC=PC.
设 P(x, -x).
(i) 当 OC=OP 时,x+(-x) = 9/4.
解得x1=(四分之三倍根号二),x1= - (四分之三倍根号二)(舍去).
所以P1 (四分之三倍根号二，负的四分之三倍根号二).
(ii) 当OP=PC时，点P在线段OC的中垂线上,
所以P2(3/4,- 3/4).
(iii) 当 OC=PC 时，由x+(-x+3/2) = 9/4,
解得x1=3,x2=0(舍去).所以P3(3/2，-3/2).
所以P点坐标为(四分之三倍根号二，负的四分之三倍根号二)或(3/4,- 3/4)或(3/2，-3/2).
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