06:20
一、中考解读
二次函数存在性问题中,特殊三角形的存在性问题一向是难点也是重点内容之一,该类问题通常考察三种类型:等腰三角形存在性问题、直角三角形存在性问题、等腰直角三角形存在性问题,在这里我们逐一进行讲解,希望对同学们解决问题有所帮助。今天这节课我们重点讲解等腰三角形的存在性问题。
二、特殊三角形之等腰三角形存在性问题
例:如图,抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点,(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,点D是抛物线的顶点,点P是直线BC上一动点,是否存在点P,使△PAD为等腰三角形,若存在,求出点P坐标,若不存在,说明理由。
分析:通过读题,不难求得A、B、C、D四点坐标,容易考虑到当△PAD是等腰三角形时,应该分情况考虑,但存在的问题是,点P是一个动点,如何确定点P的位置呢?
解法一:两圆一线确定点的位置
首先分三种情况:AP=ADDP=DA PA=PD
当AP=AD时,以点A为圆心,固定线段AD长为半径作圆,此时圆与直线BC相交于两点,这两点即为所求点P;此时不妨设点P坐标,利用勾股定理表示线段AP长并与线段AD长建立等量关系即可求出点P坐标;
同理,当DP=DA时,以点D为圆心,DA长为半径作圆,与直线BC相交于点P,并利用勾股定理构建等量建立方程求解即可;
当PA=PD时,作线段AD的垂直平分线与直线BC相交与一点,该点为所求点,此时不妨通过确定直线AD解析式进而表示这条直线解析式,然后利用两直线交点的求法解决即可。
上种解题方法比较繁琐,但是一种通法,下边再说第二种方法:
解法二:两点间距离公式表示线段长构建方程的方法
解决问题时首先把△APD的三边AP、PD、AD利用两点间距离公式表示,然后分三种情况,分别构建方程求解即可。
该种方法思路比较简单,但在特定情况下,构建方程时会出现高次方程,不便于解方程求解,需结合实际问题使用。
请同学们分别尝试使用所讲的两种方法自行完成下边问题
三、练习
如图,抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点,(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,点D是抛物线的顶点,点M是对称轴上一动点,是否存在点M,使△MAC为等腰三角形,若存在,求出点M坐标,若不存在,说明理由。
思考总结:
本节课重点学习了特殊三角形之等腰三角形存在性问题,有两种思路:一、两圆一线确定点的位置,结合图形特点解决问题;二、不考虑点的位置,利用两点间距离公式表示线段长构建方程求解。
(说明:一篇微课的制作比较费时,计划把二次函数存在性问题的各种情况进行分析讲解,但因个人能力有限,难免存在令人不满意的地方或错误,请同行们不吝赐教!欢迎大家把好的建议、好的方法留下来,相互交流!)