中考数学压轴题常考以二次函数为背景的综合题，下面分享几道例题供大家学习和参考。
第一类二次函数与圆的综合。如图1，抛物线y＝ax 2－2ax－b（a ＜0）与x轴交于点A、点B（－1，0），与y轴的正半轴交于点C，顶点为D．
（1）求顶点D的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）若以AD为直径的圆经过点C．
①求抛物线的解析式；
②如图2，点E是y轴负半轴上的一点，连结BE，将△OBE绕平面内某一点旋转180°，得到△PMN（点P、M、N分别和点O、B、E对应)，并且点M、N都在抛物线上，作MF⊥x轴于点F，若线段MF ： BF＝1 ： 2，求点M、N的坐标；
③如图3，点Q在抛物线的对称轴上，以Q为圆心的圆过A、B两点，并且和直线CD相切，求点Q的坐标。
第二类二次函数与等腰三角形综合题。如图，已知二次函数y＝ax 2＋bx＋3的图像与x轴相交于点A、C，与y轴相较于点B，A（－，0），且△AOB∽△BOC．
（1）求C点坐标、∠ABC的度数及二次函数y＝ax 2＋bx＋3的关系式；
（2）在线段AC上是否存在点M（m，0），使得以线段BM为直径的圆与边BC交于P点（与点B不同），且以点P、C、O为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。
第三类。已知：函数y＝ax 2＋x＋1的图象与x轴只有一个公共点．
（1）求这个函数关系式；
（2）如图所示，设二次函数y＝ax 2＋x＋1图象的顶点为B，与y轴的交点为A，P为图象上的一点，若以线段PB为直径的圆与直线AB相切于点B，求P点的坐标；
（3）在（2）中，若圆与x轴另一交点关于直线PB的对称点为M，试探索点M是否在抛物线y＝ax 2＋x＋1上，若在抛物线上，求出M点的坐标；若不在，请说明理由。
在解决与存在性有关的问题时，都需要先假设存在，再根据相关的定理和性质转化为方程或者函数来解。
