因动点而出现的存在性问题压轴题题型,主要特征是先求函数的解析式,然后在函数的图像上探求符合几何条件的点. 简单一点的题目,就是用待定系数法直接求函数的解析式. 复杂一点的题目,先根据图形给定的数量关系,运用数形结合的思想,求得点的坐标,进而用待定系数法求函数的解析式. 还有一种常见题型,解析式中有待定字母,这个字母可以和根与系数的关系联系起来求解,或者根据题意列出方程组求解.
今天我们学习一道因动点产生的三角形相似问题:
【上海模拟】如图1,在平面直角坐标系中,顶点为M的抛物线y=a(x^2)+bx(a>0)经过点A和x轴上的点B,AO=BO=2,∠AOB=120°,
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)连接OM,求∠AOM的大小;
(3)如果点C在x轴上,且△ABC与△AOM相似,求C点的坐标。
一、思路点拨
(1)第2问求∠AOM的大小可转化为求∠BOM的大小.
(2)因为∠BOM=∠ABO=30°,因此点C在点B的右侧时,恰好有∠ABC=∠AOM.
(3)根据夹角相等对应边成比例,分两种情况讨论△ABC与△AOM相似.
(4)动点效果图:
点C在x轴上运动的效果
二、满分答题
因此当点犆在点犅右侧时,∠ABC=∠AOM=150°.
△ABC与△AOM相似,存在两种情况:
三、方法延伸
在本题情境下,如果△ABC与△BOM相似相似,求点C的坐标.
如图5,因为△BOM是30°底角的等腰三角形,∠ABO=30°,因此△ABC也是底角为30°的等腰三角形,AB=AC,根据对称性,点C的坐标为(-4,0)
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