中考数学压轴题：因动点产生的函数关系问题
因动点产生的函数关系问题，是中考数学的一类压轴题。
该类型常用的方法有：①勾股定理；②全等；③相似；⑤线段和差。
下面，从一道例题分析，如何解决因动点产生的函数关系问题。
例题
在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标为（0，﹣1），点C（m，0）是x轴上的一个动点．
（1）如图1，点B在第四象限，△AOB和△BCD都是等边三角形，点D在BC的上方，当点C在x轴上运动到如图所示的位置时，连接AD，请证明△ABD≌△OBC；
（2）如图2，点B在x轴的正半轴上，△ABO和△ACD都是等腰直角三角形，点D在AC的上方，∠D＝90°，当点C在x轴上运动（m＞1）时，设点D的坐标为（x，y），请探求y与x之间的函数表达式；
（3）如图3，四边形ACEF是菱形，且∠ACE＝90°，点E在AC的上方，当点C在x轴上运动（m＞1）时，设点E的坐标为（x，y），请探求y与x之间的函数表达式．
【分析】
（1）由等边三角形的性质得到AB＝OB，BD＝BC，∠ABO＝∠DBC＝60°，从而判断出∠ABD＝∠OBC即可；
（2）过点D作DH⊥y轴，垂足为H，延长HD，过点C作CG⊥HD，垂足为G，由△ABO和△ACD都是等腰直角三角形，得出∠ADC＝90°，AD＝CD，∠CDG＝∠DAH，从而得到△AHD≌△DGC（AAS），根据DH＝CG＝OH，点D的坐标为（x，y），得出y与x之间的关系是y＝x；
（3）过点E作EM⊥x轴，垂足为M，则∠EMC＝∠COA＝90°，再利用正方形的性质即可得出△EMC≌△COA（AAS），得到MC＝OA＝1，EM＝OC，EM＝OC＝x+1，进而得出y与x之间的关系是y＝x+1．
【解答】
解：（1）∵△AOB和△BCD都是等边三角形，
∴AB＝OB，BD＝BC，∠ABO＝∠DBC＝60°，
∴∠ABD＝∠OBC，
在△ABD和△OBC中，
AB＝OB，∠ABD＝∠OBC，BD＝BC
∴△ABD≌△OBC（SAS）；
（2）如图，过点D作DH⊥y轴，垂足为H，延长HD，过点C作CG⊥HD，垂足为G．
∴∠AHD＝∠CGD＝90°，
∵△ABO和△ACD都是等腰直角三角形，
∴∠ADC＝90°，AD＝CD，
∴∠ADH+∠CDG＝90°，
∵∠ADH+∠DAH＝90°，
∴∠CDG＝∠DAH，
∵在△AHD和△DGC中，∠AHD＝∠CGD，∠CDG＝∠DAH，AD=CD
∴△AHD≌△DGC（AAS），
∴DH＝CG＝OH，
∵点D的坐标为（x，y），
∴y与x之间的关系是y＝x；
（3）过点E作EM⊥x轴，垂足为M，则∠EMC＝∠COA＝90°，
∵四边形ACEF是菱形，且∠ACE＝90°，
∴AC＝CE，∠ACO+∠ECO＝90°，
∵∠ACO+∠CAO＝90°，
∴∠ECO＝∠CAO，
在△EMC和△COA中，
∠EMC＝∠COA，∠ECO＝∠CAO，AC=CE
∴△EMC≌△COA（AAS），
∴MC＝OA＝1，EM＝OC，
∵点E的坐标为（x，y），
∴EM＝OC＝x+1，
∴y与x之间的关系是y＝x+1．
【点评】
此题是四边形综合题，主要考查了等边三角形，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定的综合应用，解本题的关键是判定三角形全等，根据全等三角形的对应边相等进行推导．本题也可以运用相似三角形的性质进行求解．
