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每日压轴题:因动点产生的相似三角形问题(中考数学)

时间:2024-02-18 06:29:51

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每日压轴题:因动点产生的相似三角形问题(中考数学)

关联知识

相似三角形的判定定理有3个:

其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件。因此探求两个三角形相似的动态问题,一般情况下首先寻找一组对应角相等.

判定定理2是最常用的解题依据,一般分三步:

寻找一组等角;分两种情况列比例方程;解方程并检验。

例如:如果已知∠A=∠D,探求△ABC与△DEF相似,只要把夹∠A和∠D的两边表示出来,按照对应边成比例,分

两种情况列方程。

应用判定定理1解题,先寻找一组等角,再分两种情况讨论另外两组对应角相等。

应用判定定理3解题不多见,根据三边对应成比例列连比式解方程(组)即可。

还有一种情况,讨论两个直角三角形相似,如果一组锐角相等,其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的,那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题。

另外,有时候需要求线段的长,很多同学容易想到要用到两点间的距离公式(高一真正才学到),而这个公式容易记错.理解记忆比较好。

如图1,如果已知A、B两点的坐标,怎样求A、B两点间的距离呢?

我们以AB为斜边构造直角三角形,直角边与坐标轴平行,这样用勾股定理就可以求斜边AB的长了。水平距离BC的长就是A、B两点间的水平距离,等于A、B两点的横坐标相减;竖直距离AC就是A、B两点间的竖直距离,等于A、B两点的纵坐标相减。

中考典题

例:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A(-3, 0)、B(1, 0)两点,与y轴交于点C(0,-3m)(m>0),顶点为D.

(1)求该二次函数的解析式(系数用含m的代数式表示);

(2)如图1,当m=2时,点P为第三象限内抛物线上的一个动点,设△APC的面积为S,试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值;

(3)如图2,当m取何值时,以A、D、C三点为顶点的三角形与△OBC相似?

思路点拨

1.用交点式求抛物线的解析式比较简便.

2.连结OP,△APC可以割补为:△AOP与△COP的和,再减去△AOC.

3.讨论△ACD与△OBC相似,先确定△ACD是直角三角形,再验证两个直角三角形是否相似.

4.直角三角形ACD存在两种情况.

解析过程

考点延伸

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