问题补充:
解答题已知函数f(x)=ex(ax+1)(其中e为自然对数的底,a∈R为常数).
(I)讨论函数f(x)的单调性;
(II)当a=1时,设g(x)=f(lnx)-x,求g(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值;
(Ⅲ)已知2>xm对任意的x∈(0,1)恒成立,求实数m的取值范围.
答案:
解:(I)f′(x)=ex[ax+(a+1)]…1
①.当a=0时,f′(x)=ex??在R上递增…2???
②.当a>0时,(-∞,-)上递减,(-,+∞)递增…3
③.当a<0时,(-∞,-)上递增,(-,+∞)递减…4
(II)g(x)=xlnx,g′(x)=1+lnx…5???
g(x)在(0,)上递减,在(,+∞)上递增…6
①.当0<t≤时,t+2>.gmin(x)=g=ln=-…7???
②.当t>时,gmin(x)=g(t)=tlnt…8
(III)∵2>xm>0,所以ln2>lnxm,得m>…10??
令y=,y′=…11
在(0,)递增,在(,+∞)递减.
所以ymax=-eln2….12???
所以:m>-eln2…..13解析分析:(I)先求出函数f(x)的导函数f(x),然后讨论a与0的大小关系,在函数的定义域内解不等式fˊ(x)>0和fˊ(x)<0,即可求出函数f(x)的单调区间;(II)当a=1时,g(x)=xlnx,利用其导数得g(x)在(0,)上递减,在(,+∞)上递增,再对字母t进行分类讨论:①.当0<t≤时,②.当t>时,即可求出g(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值;(III)由于2>xm>0,两边取对数得ln2>lnxm,从而有m>,令y=,利用其导数研究它的单调性,即可求出实数m的取值范围.点评:本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值,以及利用导数研究函数的单调性等基础知识,考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力.