解答题已知函数f（x）=ex（ax+1）（其中e为自然对数的底 a∈R为常数）．（I）

问题补充：

解答题已知函数f（x）=ex（ax+1）（其中e为自然对数的底，a∈R为常数）．

（I）讨论函数f（x）的单调性；

（II）当a=1时，设g（x）=f（lnx）-x，求g（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；

（Ⅲ）已知2＞xm对任意的x∈（0，1）恒成立，求实数m的取值范围．

答案：

解：（I）f′（x）=ex[ax+（a+1）]…1

①．当a=0时，f′（x）=ex??在R上递增…2???

②．当a＞0时，（-∞，-）上递减，（-，+∞）递增…3

③．当a＜0时，（-∞，-）上递增，（-，+∞）递减…4

（II）g（x）=xlnx，g′（x）=1+lnx…5???

g（x）在（0，）上递减，在（，+∞）上递增…6

①．当0＜t≤时，t+2＞．gmin（x）=g=ln=-…7???

②．当t＞时，gmin（x）=g（t）=tlnt…8

（III）∵2＞xm＞0，所以ln2＞lnxm，得m＞…10??

令y=，y′=…11

在（0，）递增，在（，+∞）递减．

所以ymax=-eln2….12???

所以：m＞-eln2…..13解析分析：（I）先求出函数f（x）的导函数f（x），然后讨论a与0的大小关系，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，即可求出函数f（x）的单调区间；（II）当a=1时，g（x）=xlnx，利用其导数得g（x）在（0，）上递减，在（，+∞）上递增，再对字母t进行分类讨论：①．当0＜t≤时，②．当t＞时，即可求出g（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（III）由于2＞xm＞0，两边取对数得ln2＞lnxm，从而有m＞，令y=，利用其导数研究它的单调性，即可求出实数m的取值范围．点评：本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值，以及利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力．