解答题已知函数f（x）=（x2+ax+a）e-x （a为常数 e为自然对数的底）．（Ⅰ

问题补充：

解答题已知函数f（x）=（x2+ax+a）e-x，（a为常数，e为自然对数的底）．

（Ⅰ）当a=0时，求f′（2）；

（Ⅱ）若f（x）在x=0时取得极小值，试确定a的取值范围；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设由f（x）的极大值构成的函数为g（a），将a换元为x，试判断曲线y=g（x）是否能与直线3x-2y+m=0（?m为确定的常数）相切，并说明理由．

答案：

解：（Ⅰ）当a=0时，f（x）=x2e-x，f（x）=2xe-x-x2e-x=xe-x（2-x）．

所以f（2）=0．

（Ⅱ）f（x）=（2x+a）e-x-e-x（x2+ax+a）=e-x[-x2+（2-a）x]=-e-x?x[x-（2-a）]．

令f（x）=0，得x=0或x=2-a．

若2-a=0，即a=2时，f（x）=-x2e-x≤0恒成立，

此时f（x）在区间（-∞，+∞）上单调递减，没有极小值；

当2-a＞0，即a＜2时，

若x＜0，则f（x）＜0．

若0＜x＜2-a，则f（x）＞0．

所以x=0是函数f（x）的极小值点．

当2-a＜0，即a＞2时，

若x＞0，则f（x）＜0．

若2-a＜x＜0，则f（x）＞0．

此时x=0是函数f（x）的极大值点．

综上所述，使函数f（x）在x=0时取得极小值的a的取值范围是a＜2．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知当a＜2，且x＞2-a时，f（x）＜0，

因此x=2-a是f（x）的极大值点，极大值为f（2-a）=（4-a）ea-2．

所以g（x）=（4-x）ex-2（x＜2）．

g（x）=-ex-2+ex-2（4-x）=（3-x）ex-2．

令h（x）=（3-x）ex-2（x＜2）．

则h（x）=（2-x）ex-2＞0恒成立，即h（x）在区间（-∞，2）上是增函数．

所以当x＜2时，h（x）＜h（2）=（3-2）e2-2=1，即恒有g（x）＜1．

又直线3x-2y+m=0的斜率为，

所以曲线y=g（x）不能与直线3x-2y+m=0相切．解析分析：（Ⅰ）把a=0代入函数解析式，求导后直接把x=2代入导函数解析式计算；（Ⅱ）求出原函数的导函数，解出导函数的零点为0或2-a，分2-a=0、2-a＞0、2-a＜0三种情况讨论导函数在不同区间内的符号，判出极小值点，从而得到使f（x）在x=0时取得极小值的a的取值范围；（Ⅲ）由（Ⅱ）中的条件，能够得到x=2-a是f（x）的极大值点，求出f（2-a），得到g（x），两次求导得到函数g（x）的导数值小于1，而直线3x-2y+m=0的斜率为，说明曲线y=g（x）与直线3x-2y+m=0不可能相切．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了函数模型的选择，考查了函数存在极值点的条件，需要注意的是，函数在极值点处的导数一定等于0，但导数为0的点不一定是极值点，此题有一定难度．